Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ với $AD=DC=a,AB=2a.$ Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với đáy. Góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng ${{60}^{0}}.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB.$
A. $a\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $2a$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ dễ thấy $ADCM$ là hình vuông $\Rightarrow MC=AM=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow \Delta ACB$ là tam giác vuông tại $C$
Gọi $N$ đối xứng với $C$ qua $M\Rightarrow ACBN$ là hình chữ nhật
$AC//BN\Rightarrow AC//\left( SBN \right)\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta SBN}}}.$
Tính ${{V}_{S.ABN}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABN}}=\dfrac{1}{6}SA.AN.NB=\dfrac{1}{6}SA.BC.AC$
$SA=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6};BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Như vậy: ${{V}_{S.ABN}}=\dfrac{1}{6}.a\sqrt{6}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
Ta có: $SN=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Xét $\Delta SBN$ vuông tại $N,\left( BN\bot AN;BN\bot SA\Rightarrow BN\bot SN \right)$
Ta có: ${{S}_{SBN}}=\dfrac{1}{2}SN.NB=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2}a.a\sqrt{2}=2{{a}^{2}}$
Suy ra $d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta ABN}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
A. $a\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $2a$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ dễ thấy $ADCM$ là hình vuông $\Rightarrow MC=AM=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow \Delta ACB$ là tam giác vuông tại $C$
Gọi $N$ đối xứng với $C$ qua $M\Rightarrow ACBN$ là hình chữ nhật
$AC//BN\Rightarrow AC//\left( SBN \right)\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta SBN}}}.$
Tính ${{V}_{S.ABN}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABN}}=\dfrac{1}{6}SA.AN.NB=\dfrac{1}{6}SA.BC.AC$
$SA=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6};BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Như vậy: ${{V}_{S.ABN}}=\dfrac{1}{6}.a\sqrt{6}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
Ta có: $SN=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Xét $\Delta SBN$ vuông tại $N,\left( BN\bot AN;BN\bot SA\Rightarrow BN\bot SN \right)$
Ta có: ${{S}_{SBN}}=\dfrac{1}{2}SN.NB=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2}a.a\sqrt{2}=2{{a}^{2}}$
Suy ra $d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta ABN}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Đáp án C.