Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với $AB=BC=a, AD=2a, SA\bot \left( ABCD \right), SA=a$. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SD
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Gọi I là trung điểm của $AD\Rightarrow ABCI$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow \Delta ACI$ có đường trung tuyến $CI=\dfrac{AD}{2}\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại $C\Rightarrow AC\bot CD$
Dựng $Dx//AC$
$\Rightarrow d\left( AC;SD \right)=d\left( AC;\left( SDx \right) \right)=d\left( A;\left( SDx \right) \right)$
Dựng $AE\bot Dx,AF\bot SE\Rightarrow d\left( A;\left( SDx \right) \right)=AF$
Ta có: $AE=CD=\sqrt{C{{I}^{2}}+I{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Suy ra $AF=\dfrac{SA.AE}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Dựng $Dx//AC$
$\Rightarrow d\left( AC;SD \right)=d\left( AC;\left( SDx \right) \right)=d\left( A;\left( SDx \right) \right)$
Dựng $AE\bot Dx,AF\bot SE\Rightarrow d\left( A;\left( SDx \right) \right)=AF$
Ta có: $AE=CD=\sqrt{C{{I}^{2}}+I{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Suy ra $AF=\dfrac{SA.AE}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án C.