Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
A. x $6\pi {{a}^{2}}$.
B. $10\pi {{a}^{2}}$.
C. $3\pi {{a}^{2}}$.
D. $5\pi {{a}^{2}}$.
Gọi H là trung điểm của AD. Tam giác SAD đều và $\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $AH=a$, $SH=a\sqrt{3}$ và tứ giác ABCH là hình vuông cạnh a $\Rightarrow BH=a\sqrt{2}$ .
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AD \\
& AB\bot S \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SA $ hay $ \widehat{SAB}=90{}^\circ $ $ \left( 1 \right)$
Chứng minh tương tự ta có $BC\bot SC$ hay $\widehat{SCB}=90{}^\circ $ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta thấy hai đỉnh A và C của hình chóp S.ABC cùng nhìn SB dưới một góc vuông. Do đó bốn điểm S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
Xét tam giác vuông SHB, ta có $SB=\sqrt{B{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Vây diên tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $S=4\pi {{\left( \dfrac{SB}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}$
A. x $6\pi {{a}^{2}}$.
B. $10\pi {{a}^{2}}$.
C. $3\pi {{a}^{2}}$.
D. $5\pi {{a}^{2}}$.
Gọi H là trung điểm của AD. Tam giác SAD đều và $\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $AH=a$, $SH=a\sqrt{3}$ và tứ giác ABCH là hình vuông cạnh a $\Rightarrow BH=a\sqrt{2}$ .
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AD \\
& AB\bot S \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SA $ hay $ \widehat{SAB}=90{}^\circ $ $ \left( 1 \right)$
Chứng minh tương tự ta có $BC\bot SC$ hay $\widehat{SCB}=90{}^\circ $ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta thấy hai đỉnh A và C của hình chóp S.ABC cùng nhìn SB dưới một góc vuông. Do đó bốn điểm S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
Xét tam giác vuông SHB, ta có $SB=\sqrt{B{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Vây diên tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $S=4\pi {{\left( \dfrac{SB}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}$
Đáp án D.