Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B;

A B = B C = 1

,

A D = 2

. Các mặt chéo

(S A C)

và

(S B D)

cùng vuông góc với mặt đáy

(A B C D)

. Biết góc giữa hai mặt phẳng

(S A B)

và

(A B C D)

bằng 60 (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng

(S A B)

là

A.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

.
B.

\sqrt{3}

.
C.

2 \sqrt{3}

.
D.

\frac{\sqrt{3}}{3}

.

Vì các mặt chéo

(S A C)

và

(S B D)

cùng vuông góc với mặt đáy

(A B C D)

nên

S O ⊥ (A B C D)

với

O = A C \cap B D

.
Kẻ

O K ⊥ A B

tại

K

\Rightarrow (S O K) ⊥ A B \Rightarrow S K ⊥ A B

\Rightarrow ((S A B), (A B C D)) = (S K, O K) = \hat{S K O} = 60^{\circ}

Do

A D // B C

nên

\frac{O D}{O B} = \frac{O A}{O C} = \frac{A D}{B C} = 2

\Rightarrow D B = 3 O B \Rightarrow d (D, (S A B)) = 3 d (O, (S A B))

Trong mặt phẳng

(S O K)

, kẻ

O H ⊥ S K

tại

H

\Rightarrow O H ⊥ (S A B) \Rightarrow d (D, (S A B)) = 3 d (O, (S A B)) = 3 O H

Trong tam giác vuông

Δ S O K : \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O K^{2}} = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = 3 \Rightarrow O H = \frac{1}{\sqrt{3}}

.
Vậy

T = a b + 1 = 2 (- 1) + 1 = - 1

.

Đáp án B.