: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ và có $AB=BC=a,AD=2a,$ có $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a.$ Gọi $M,N$...

Chọn hệ trục tọa độ như hình vễ.

Khi đó $A\left( 0;0;0 \right),B\left( a;0;0 \right),C\left( a;a;0 \right),D\left( 0;2a;0 \right),S\left( 0;0;a \right).$
Do $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,CD$ nên $M,N$ có tọa độ lần lượt là:
$M\left( \dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2} \right),N\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{3a}{2};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 0;\dfrac{3a}{2};\dfrac{-a}{2} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 0;3;-1 \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $MN.$
Gọi $K$ là trung điểm của $AD\Rightarrow ABCK$ là hình bình hành.
Suy ra: $CK=AB=a=\dfrac{1}{2}CD\Rightarrow $ Tam giác $ACD$ vuông tại $C.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AC \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)$
Mà: $\overrightarrow{CD}=\left( -a;a;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( -1;1;0 \right)$ là vectơ pháp tuyến của $mp\left( SAC \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa $MN$ và $mp\left( SAC \right)$.
Ta có: $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\dfrac{\sqrt{55}}{10}.$