Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết

A B = 2 A D = 2 D C = 2 a

góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là

60^{o}

. Độ dài cạnh SA là:
A.

a \sqrt{2} .

B.

2 a \sqrt{3} .

C.

3 a \sqrt{2} .

D.

a \sqrt{3} .

Gọi E là trung điểm của AB. Ta dễ dàng chứng minh được ABCE là hình vuông

\Rightarrow {\begin{aligned} C E ⊥ A B \\ C E ⊥ S A \end{aligned} \Rightarrow C E ⊥ (S A B) \Rightarrow C E ⊥ S B

Trong (SAB) kẻ

H E ⊥ S B

ta có:

{\begin{aligned} S B ⊥ E H \\ S B ⊥ C E \end{aligned} \Rightarrow S B ⊥ (C H E) \Rightarrow S B ⊥ C H

{\begin{aligned} (S A B) \cap (S B C) = S B \\ (S A B) \supset E H ⊥ S B \\ (S A C) \supset C H ⊥ S B \end{aligned} \Rightarrow \hat{((S A B), (S B C))} = \hat{(E H, C H)} = \hat{C H E} = 60^{o}

Xét tam giác vuông CEH có

E H = C E . \cot 60^{o} = \frac{a}{\sqrt{3}} .

Ta có

Δ S A B \sim Δ E H G (g . g) \Rightarrow \frac{S A}{E H} = \frac{S B}{B E} \Rightarrow S A = \frac{E H . S B}{B E} = \frac{\frac{a}{\sqrt{3}} . \sqrt{S A^{2} + 4 a^{2}}}{a}

\Leftrightarrow \sqrt{3} S A = \sqrt{S A^{2} + 4 a^{2} \Leftrightarrow} 3 S A^{2} = S A^{2} + 4 a^{2} \Leftrightarrow S A^{2} = 2 a^{2} \Leftrightarrow S A = a \sqrt{2}

Đáp án A.