Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, $AD=2AB=2BC=2CD=2a.$ Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right).$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính sin góc giữa MN và $\left( SAC \right),$ biết thể tích khối chóp SABCD bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$
B. $\dfrac{3\sqrt{10}}{20}$
C. $\dfrac{\sqrt{10}}{20}$
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$
B. $\dfrac{3\sqrt{10}}{20}$
C. $\dfrac{\sqrt{10}}{20}$
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
Diện tích hình thang cân ABCD là ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{3{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{4}\to SA=a.$
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của $AB,BC\Rightarrow \left( SAC \right)$ // $\left( MPQ \right)$
Suy ra $\widehat{MN;\left( SAC \right)}=\widehat{MN,\left( MPQ \right)}=\widehat{\left( MN,NH \right)}=\widehat{MNH}$ với H là hình chiếu của N trên PQ.
Vì $SA//MP\Rightarrow MP\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \Delta MPN$ vuông tại P
$\Rightarrow MN=\sqrt{M{{P}^{2}}+N{{P}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3\text{a}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow MN\bot PQ\Rightarrow NH=\dfrac{3}{2}d\left( N;\left( PQ \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( B;\left( PQ \right) \right)=\dfrac{3}{4}$
Tam giác MNH vuông tại H, có $\sin \widehat{MNH}=\dfrac{NH}{MN}=\dfrac{3}{4}:\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{20}$
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của $AB,BC\Rightarrow \left( SAC \right)$ // $\left( MPQ \right)$
Suy ra $\widehat{MN;\left( SAC \right)}=\widehat{MN,\left( MPQ \right)}=\widehat{\left( MN,NH \right)}=\widehat{MNH}$ với H là hình chiếu của N trên PQ.
Vì $SA//MP\Rightarrow MP\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \Delta MPN$ vuông tại P
$\Rightarrow MN=\sqrt{M{{P}^{2}}+N{{P}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3\text{a}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow MN\bot PQ\Rightarrow NH=\dfrac{3}{2}d\left( N;\left( PQ \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( B;\left( PQ \right) \right)=\dfrac{3}{4}$
Tam giác MNH vuông tại H, có $\sin \widehat{MNH}=\dfrac{NH}{MN}=\dfrac{3}{4}:\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{20}$
Đáp án B.