Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AD là đáy...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AD là đáy lớn

A D = 2 a

,

A B = B C = C D = a

. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(A B C D)

là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho

H C = 2 A H

. Góc giữa hai mặt phẳng

(S C D)

và đáy

(A B C D)

bằng 60°. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
A.

d = \frac{6 a \sqrt{13}}{13}

.
B.

d = \frac{6 a \sqrt{13}}{21}

.
C.

d = \frac{2 a \sqrt{13}}{21}

.
D.

d = \frac{a \sqrt{13}}{42}

.

Gọi I là trung điểm của AD

\Rightarrow

ABCI là hình bình hành suy ra

C I = a = \frac{1}{2} A D \Rightarrow Δ A C D

vuông tại C. Ta có

{\begin{aligned} A C ⊥ C D \\ C D ⊥ S H \end{aligned} \Rightarrow C D ⊥ (S C H)

Vạy góc giữa hai mặt phẳng

(S C D)

và đáy

(A B C D)

bằng

\hat{S C H} = 60^{\circ}

,

A C = \sqrt{A D^{2} - C D^{2}} = a \sqrt{3} \Rightarrow H C = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}

\Rightarrow S H = H C \tan 60^{\circ} = 2 a

Ta có

h = 2

,

k = \frac{A H}{A C} = \frac{1}{3}

,

c = A C = \sqrt{3} \Rightarrow d = \frac{6 a \sqrt{13}}{13}

Đáp án A.