Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a,AD=2a;SA$ vuông góc với đáy $ABCD$, $SC$ hợp với đáy một góc $\alpha $ và $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{10}}{5}$. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $\left( SCD \right).$
A. $\dfrac{a}{3}$
B. $\dfrac{2a}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{a}{3}$
B. $\dfrac{2a}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Phương pháp:
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Gọi $a'$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc giữa đường thẳng
Cách giải:
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\left( 2{{a}^{2}} \right)}=a\sqrt{5}$
$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\left( SC;AC \right)=\angle SCA$
$\Rightarrow \tan \angle SCA=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow \dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow SA=a\sqrt{2}$
Ta có $AB//CD,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow {{d}_{\left( B;\left( SCD \right) \right)}}={{d}_{\left( A;\left( SCD \right) \right)}}$
Kẻ $AH\bot SD;H\in SD$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SA \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot AH$
Mà $AH\bot SD\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow {{d}_{\left( A;\left( SCD \right) \right)}}=AH$
Mà $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}\Rightarrow {{d}_{\left( B;\left( SCD \right) \right)}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Gọi $a'$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc giữa đường thẳng
Cách giải:
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\left( 2{{a}^{2}} \right)}=a\sqrt{5}$
$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\left( SC;AC \right)=\angle SCA$
$\Rightarrow \tan \angle SCA=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow \dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow SA=a\sqrt{2}$
Ta có $AB//CD,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow {{d}_{\left( B;\left( SCD \right) \right)}}={{d}_{\left( A;\left( SCD \right) \right)}}$
Kẻ $AH\bot SD;H\in SD$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SA \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot AH$
Mà $AH\bot SD\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow {{d}_{\left( A;\left( SCD \right) \right)}}=AH$
Mà $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}\Rightarrow {{d}_{\left( B;\left( SCD \right) \right)}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Đáp án D.