Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,BC=a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trung điểm $H$ của $AB$. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SHD \right)$ là
A. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{13}.$
Kẻ $CK\bot HD\left( K\in HD \right)$
Mà $SH\bot CK\Rightarrow CK\bot \left( SHD \right).$
Diện tích tam giác $HCD$ là ${{S}_{\Delta HCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta HAD}}-{{S}_{\Delta HBC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Tam giác $AHD$ vuông tại $A$, có $HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}.$
Mà ${{S}_{\Delta HCD}}=\dfrac{1}{2}.CK.HD\Rightarrow CK=\dfrac{2\times {{S}_{\Delta HCD}}}{HD}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}:\dfrac{a\sqrt{13}}{2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
Vậy khoảng cách là $\left[ C;\left( SHD \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{13}.$
Mà $SH\bot CK\Rightarrow CK\bot \left( SHD \right).$
Diện tích tam giác $HCD$ là ${{S}_{\Delta HCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta HAD}}-{{S}_{\Delta HBC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Tam giác $AHD$ vuông tại $A$, có $HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}.$
Mà ${{S}_{\Delta HCD}}=\dfrac{1}{2}.CK.HD\Rightarrow CK=\dfrac{2\times {{S}_{\Delta HCD}}}{HD}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}:\dfrac{a\sqrt{13}}{2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
Vậy khoảng cách là $\left[ C;\left( SHD \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
Đáp án A.