Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a,BC=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Dựng điểm $E$ sao cho $ACBE$ là hình bình hành.
Khi đó: $AC\text{//}EB\Rightarrow AC\text{//}\left( SBE \right)$
$\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBE \right) \right)=d\left( A,\left( SBE \right) \right)$.(1)
Kẻ $AI\bot EB\left( I\in EB \right)$.
Kẻ $AH\bot SI\left( H\in SI \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SEB \right) \right)=AH$.(2)
Tam giác $ABE$ vuông tại $A$.
$\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}$.
Xét $\Delta SAI$, ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}a$.(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $h=d\left( AC,SB \right)=\dfrac{2a}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Dựng điểm $E$ sao cho $ACBE$ là hình bình hành.
Khi đó: $AC\text{//}EB\Rightarrow AC\text{//}\left( SBE \right)$
$\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBE \right) \right)=d\left( A,\left( SBE \right) \right)$.(1)
Kẻ $AI\bot EB\left( I\in EB \right)$.
Kẻ $AH\bot SI\left( H\in SI \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SEB \right) \right)=AH$.(2)
Tam giác $ABE$ vuông tại $A$.
$\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}$.
Xét $\Delta SAI$, ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}a$.(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $h=d\left( AC,SB \right)=\dfrac{2a}{3}$.
Đáp án B.