Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,BC=a\sqrt{3}$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trung điểm $H$ của $AB$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{10}a}{10}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}a}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{15}a}{10}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}a}{3}$
Tam giác SAB đều, có H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\bot AB$
$\Rightarrow SH\bot (ABCD)$
Kẻ $HM\bot AC(M\in AC)$
$HK\bot SM(K\in SM)$ (hình vẽ bên)
Ta có $HK\bot (SAC)\Rightarrow d(H;(SAC))=HK$
Lại có $HM=d(H;(AC))=\dfrac{1}{2}d(B;(AC))$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AB.BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{(a\sqrt{3})}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Tam giác SHM vuông tại H, có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{20}{3{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$. Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
A. $\dfrac{\sqrt{10}a}{10}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}a}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{15}a}{10}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}a}{3}$
Tam giác SAB đều, có H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\bot AB$
$\Rightarrow SH\bot (ABCD)$
Kẻ $HM\bot AC(M\in AC)$
$HK\bot SM(K\in SM)$ (hình vẽ bên)
Ta có $HK\bot (SAC)\Rightarrow d(H;(SAC))=HK$
Lại có $HM=d(H;(AC))=\dfrac{1}{2}d(B;(AC))$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AB.BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{(a\sqrt{3})}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Tam giác SHM vuông tại H, có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{20}{3{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$. Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
Đáp án C.