Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật,

S A = a \sqrt{5}, A B = 4 a, A D = a \sqrt{3}

. Điểm

H

nằm trên cạnh

A B

thỏa mãn

A H = \frac{1}{3} H B

, hai mặt phẳng

(S H C)

và

(S H D)

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cosin góc giữa

S D

và

(S B C)

bằng

A.

\sqrt{\frac{5}{12}}

.
B.

\sqrt{\frac{5}{13}}

.
C.

\sqrt{\frac{4}{13}}

.
D.

\frac{\sqrt{3}}{3}

.

Ta có:

\sin \hat{(S D; (S B C))} = \frac{d (D; (S B C))}{S D}

Do

A D / / B C \Rightarrow A D / / (S B C)

\Rightarrow d (D; (S B C)) = d (A; (S B C))

Lại có:

A B = \frac{4}{3} H B \Rightarrow d (A; (S B C)) = \frac{4}{3} d (H; (S B C))

Do

{\begin{aligned} H B ⊥ B C \\ S H ⊥ B C \end{aligned} \Rightarrow B C ⊥ (S B H)

Dựng

H E ⊥ S B \Rightarrow H E ⊥ (S B C)

Ta có:

H A = a, H B = 3 a \Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - H A^{2}} = 2 a, d (H; (S B C)) = H E = \frac{H B . S H}{\sqrt{H B^{2} + S H^{2}}} = \frac{6 a}{\sqrt{13}}

.

S D = \sqrt{S H^{2} + H D^{2}} = \sqrt{S H^{2} + H A^{2} + A D^{2}} = 2 a \sqrt{2}

.
Suy ra

\sin \hat{(S D; (S B C))} = \frac{\frac{4}{3} H E}{S D} = \frac{2 \sqrt{26}}{13} \Rightarrow \cos \hat{(S D; (S B C))} = \sqrt{1 - \sin^{2} \hat{(S D; (S B C))}} = \sqrt{\frac{5}{13}}

.

Đáp án B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...