Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật,

A B = a, B C = 2 a .

Cạnh

S A = 2 a

và vuông góc với mặt phẳng

(A B C D) .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
A.

\frac{a \sqrt{2}}{3} .

B.

\frac{a \sqrt{3}}{2} .

C.

\frac{3 a}{2} .

D.

\frac{2 a}{3} .

Dựng hình bình hành DBCP như hình vẽ.

Từ

B D // CP \Rightarrow BD // (S C P) \Rightarrow d (B D; S C) = d (D; (S C P)) = \frac{1}{2} d (A; (S C P))

.
Kẻ

A K ⊥ C P, A H ⊥ S K \Rightarrow d (A; (S C P)) = A H

\Rightarrow d (B D; S C) = \frac{1}{2} A H .

Ta có

S_{A C P} = \frac{1}{2} A K . C P = \frac{1}{2} C D . A P = \frac{1}{2} a .4 a = 2 a^{2} .

Cạnh

C P = B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{5} \Rightarrow A K = \frac{4 a}{\sqrt{5}} .

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{5}{16 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{4 a}{3}

\Rightarrow d (B D; S C) = \frac{1}{2} A H = \frac{2 a}{3} .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...