Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,BC=2a.$ Cạnh $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right).$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{3a}{2}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{3a}{2}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
Dựng hình bình hành DBCP như hình vẽ.
Từ $B\text{D // CP}\Rightarrow \text{BD // }\left( SCP \right)\Rightarrow d\left( B\text{D};SC \right)=d\left( D;(SCP) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;(SCP) \right)$.
Kẻ $AK\bot CP,AH\bot SK\Rightarrow d\left( A;\left( SCP \right) \right)=AH$
$\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=\dfrac{1}{2}AH.$
Ta có ${{S}_{ACP}}=\dfrac{1}{2}AK.CP=\dfrac{1}{2}CD.AP=\dfrac{1}{2}a.4a=2{{a}^{2}}.$
Cạnh $CP=BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{5}\Rightarrow AK=\dfrac{4a}{\sqrt{5}}.$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{5}{16{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{4a}{3}$
$\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{2a}{3}.$
Từ $B\text{D // CP}\Rightarrow \text{BD // }\left( SCP \right)\Rightarrow d\left( B\text{D};SC \right)=d\left( D;(SCP) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;(SCP) \right)$.
Kẻ $AK\bot CP,AH\bot SK\Rightarrow d\left( A;\left( SCP \right) \right)=AH$
$\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=\dfrac{1}{2}AH.$
Ta có ${{S}_{ACP}}=\dfrac{1}{2}AK.CP=\dfrac{1}{2}CD.AP=\dfrac{1}{2}a.4a=2{{a}^{2}}.$
Cạnh $CP=BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{5}\Rightarrow AK=\dfrac{4a}{\sqrt{5}}.$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{5}{16{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{4a}{3}$
$\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{2a}{3}.$
Đáp án D.