Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6},AD=\sqrt{3},$ tam giác $SAC$ nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ tạo với nhau góc $\alpha $ thỏa mãn $\tan \alpha =\dfrac{3}{4}$ và $SC=3.$ Thể tích khối $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{4}{3}.$
B. $\dfrac{8}{3}.$
C. $5\sqrt{3}.$
D. $3\sqrt{3}.$
A. $\dfrac{4}{3}.$
B. $\dfrac{8}{3}.$
C. $5\sqrt{3}.$
D. $3\sqrt{3}.$
Dựng $SH\bot SC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Dựng $BK\bot AC\Rightarrow BK\bot SH\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SA\bot BK$
Dựng $KE\bot SA\Rightarrow SA\bot \left( BKE \right)\Rightarrow \widehat{BEK}=\widehat{\left( SAB \right);\left( SAC \right)}=\alpha $
Ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=3;BK\dfrac{AB.BC}{AC}=\sqrt{2}.$
Khi đó $\tan \alpha =\dfrac{BK}{KE}=\dfrac{\sqrt{2}}{KE}\Rightarrow KE=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
Lại có $CK.AC=B{{C}^{2}}\Rightarrow \dfrac{CK}{AC}=\dfrac{B{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{3}.$
Do đó $d\left( C;SA \right)=\dfrac{3}{2}d\left( K;SA \right)=\dfrac{3}{2}KE=2\sqrt{2}.$
$SA=2\sqrt{A{{C}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}$ (Do tam giác $CSA$ cân tại $C$ )
$\Rightarrow SA=2\Rightarrow {{S}_{SAC}}=\dfrac{1}{2}d\left( C;SA \right).SA=2\sqrt{2}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{V}_{B.SAC}}=2.\dfrac{1}{3}.BK.{{S}_{SAC}}=\dfrac{8}{3}.$
Dựng $BK\bot AC\Rightarrow BK\bot SH\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SA\bot BK$
Dựng $KE\bot SA\Rightarrow SA\bot \left( BKE \right)\Rightarrow \widehat{BEK}=\widehat{\left( SAB \right);\left( SAC \right)}=\alpha $
Khi đó $\tan \alpha =\dfrac{BK}{KE}=\dfrac{\sqrt{2}}{KE}\Rightarrow KE=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
Lại có $CK.AC=B{{C}^{2}}\Rightarrow \dfrac{CK}{AC}=\dfrac{B{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{3}.$
Do đó $d\left( C;SA \right)=\dfrac{3}{2}d\left( K;SA \right)=\dfrac{3}{2}KE=2\sqrt{2}.$
$SA=2\sqrt{A{{C}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}$ (Do tam giác $CSA$ cân tại $C$ )
$\Rightarrow SA=2\Rightarrow {{S}_{SAC}}=\dfrac{1}{2}d\left( C;SA \right).SA=2\sqrt{2}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{V}_{B.SAC}}=2.\dfrac{1}{3}.BK.{{S}_{SAC}}=\dfrac{8}{3}.$
Đáp án B.