Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=a,A\text{D}=2\text{a}$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng $60{}^\circ $. Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng $\left( SB\text{D} \right)$ theo a.
A. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $d=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
D. $d=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Xác định $60{}^\circ =\widehat{S\text{D},\left( ABC\text{D} \right)}=\widehat{S\text{D},A\text{D}}=\widehat{S\text{D}A}$ và $SA=A\text{D}.\tan \widehat{S\text{D}A}=2\text{a}\sqrt{3}$.
Ta có $d\left( C,(SB\text{D}) \right)=d\left( A,(SB\text{D}) \right)$.
Kẻ $A\text{E}\bot B\text{D}$ và kẻ $AK\bot SE$.
Khi đó $d\left( A,(SB\text{D}) \right)=AK$.
Tam giác vuông BAD, có $A\text{E}=\dfrac{AB.A\text{D}}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{\text{D}}^{2}}}}=\dfrac{2\text{a}}{\sqrt{5}}$.
Tam giác vuông SAE, có $AK=\dfrac{SA.A\text{E}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{\text{E}}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( C,(SB\text{D}) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $d=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
D. $d=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Xác định $60{}^\circ =\widehat{S\text{D},\left( ABC\text{D} \right)}=\widehat{S\text{D},A\text{D}}=\widehat{S\text{D}A}$ và $SA=A\text{D}.\tan \widehat{S\text{D}A}=2\text{a}\sqrt{3}$.
Ta có $d\left( C,(SB\text{D}) \right)=d\left( A,(SB\text{D}) \right)$.
Kẻ $A\text{E}\bot B\text{D}$ và kẻ $AK\bot SE$.
Khi đó $d\left( A,(SB\text{D}) \right)=AK$.
Tam giác vuông BAD, có $A\text{E}=\dfrac{AB.A\text{D}}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{\text{D}}^{2}}}}=\dfrac{2\text{a}}{\sqrt{5}}$.
Tam giác vuông SAE, có $AK=\dfrac{SA.A\text{E}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{\text{E}}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( C,(SB\text{D}) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.