Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

A B = a, A D = 2 a

. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng

60^{\circ}

. Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng

(S B D)

theo a.
A.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

B.

d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}

C.

d = \frac{a \sqrt{5}}{2}

D.

d = \frac{\sqrt{3}}{2}

Xác định

60^{\circ} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, A D} = \hat{S D A}

và

S A = A D . \tan \hat{S D A} = 2 a \sqrt{3}

.
Ta có

d (C, (S B D)) = d (A, (S B D))

.
Kẻ

A E ⊥ B D

và kẻ

A K ⊥ S E

.
Khi đó

d (A, (S B D)) = A K

.
Tam giác vuông BAD, có

A E = \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}

.
Tam giác vuông SAE, có

A K = \frac{S A . A E}{\sqrt{S A^{2} + A E^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Vậy

d (C, (S B D)) = A K = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

Đáp án A.