Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình chữ nhật với ${AB = a,AD = 2a}$. Cạnh bên ${SA}$ vuông góc với đáy. Gọi ${M,N}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh ${SB}$ và ${SD}$. Biết khoảng cách từ ${S}$ đến mặt phẳng ${\left( {AMN} \right)}$ bằng ${\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}$. Tính thể tích khối chóp ${S.ABCD}$ theo ${a}$.
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}}$.
B. ${\dfrac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{9}}$.
C. ${\dfrac{{8{a^3}}}{3}}$.
D. ${\dfrac{{4{a^3}}}{3}}$.
Từ A kẻ $AK\bot BD\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right).$ Gọi I là giao điểm của SK và MN
Tam giác SBD có MN là đường trung bình nên có I là trung điểm của SK và $MN//BD$.Suy ra
$MN\bot \left( SAK \right)\Rightarrow \left( AMN \right)\bot \left( SAK \right).$ Kẻ $SH\bot AI\Rightarrow SH\bot \left( AMN \right)$
$\Rightarrow SH=d\left( S,\left( AMN \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Xét tam giác SAK vuông tại A có:
${{S}_{SAK}}=2{{S}_{SAI}}=2.\dfrac{1}{2}AI.SH=\dfrac{1}{2}SK.SH=\dfrac{1}{2}SH.\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}$
Và ${{S}_{SAK}}=\dfrac{1}{2}SA.AK\Rightarrow SA.AK=SH.\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}$
Tam giác ABD vuông tại A $A\Rightarrow \dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Từ đó suy ra $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\sqrt{S{{A}^{2}}+\dfrac{4{{a}^{2}}}{5}}\Leftrightarrow SA=2a$
${{S}_{ABCD}}=AB.AD=2{{a}^{2}}$
Từ đây suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}}$.
B. ${\dfrac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{9}}$.
C. ${\dfrac{{8{a^3}}}{3}}$.
D. ${\dfrac{{4{a^3}}}{3}}$.
Từ A kẻ $AK\bot BD\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right).$ Gọi I là giao điểm của SK và MN
Tam giác SBD có MN là đường trung bình nên có I là trung điểm của SK và $MN//BD$.Suy ra
$MN\bot \left( SAK \right)\Rightarrow \left( AMN \right)\bot \left( SAK \right).$ Kẻ $SH\bot AI\Rightarrow SH\bot \left( AMN \right)$
$\Rightarrow SH=d\left( S,\left( AMN \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Xét tam giác SAK vuông tại A có:
${{S}_{SAK}}=2{{S}_{SAI}}=2.\dfrac{1}{2}AI.SH=\dfrac{1}{2}SK.SH=\dfrac{1}{2}SH.\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}$
Và ${{S}_{SAK}}=\dfrac{1}{2}SA.AK\Rightarrow SA.AK=SH.\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}$
Tam giác ABD vuông tại A $A\Rightarrow \dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Từ đó suy ra $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\sqrt{S{{A}^{2}}+\dfrac{4{{a}^{2}}}{5}}\Leftrightarrow SA=2a$
${{S}_{ABCD}}=AB.AD=2{{a}^{2}}$
Từ đây suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
Đáp án D.