Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a, AD=2a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $AD$, góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$ là $45{}^\circ $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BH$ theo $a$.
A. $a\sqrt{\dfrac{2}{5}}$.
B. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
D. $a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Ta có $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow $ góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SBH}=45{}^\circ $.
Suy ra $\Delta SBH$ vuông cân tại $H\Rightarrow $ $SH=BH=\sqrt{H{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Gọi $E$ là trung điểm $CB$. Ta có $BH // DE\Rightarrow \text{d}\left( BH,SD \right)=\text{d}\left( BH,\left( SDE \right) \right)=\text{d}\left( H,\left( SDE \right) \right)$.
Kẻ $HK\bot DE$, $HI\bot SK$.
Ta có $DE\bot \left( SHK \right)\Rightarrow DE\bot HI$. Suy ra $HI\bot \left( SDE \right)$.
Vậy $\text{d}\left( BH,SD \right)=\text{d}\left( H,\left( SDE \right) \right)=HI$.
Trong $\Delta DHE$ vuông tại $H$ ta có $HK.DE=DH.HE\Leftrightarrow HK=\dfrac{DH.HE}{DE}=\dfrac{a.a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong $\Delta SHK$ vuông tại $H$ ta có
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Leftrightarrow HI=\dfrac{SH.HK}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
Vậy $\text{d}\left( SD,BH \right)=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
A. $a\sqrt{\dfrac{2}{5}}$.
B. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
D. $a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Suy ra $\Delta SBH$ vuông cân tại $H\Rightarrow $ $SH=BH=\sqrt{H{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Gọi $E$ là trung điểm $CB$. Ta có $BH // DE\Rightarrow \text{d}\left( BH,SD \right)=\text{d}\left( BH,\left( SDE \right) \right)=\text{d}\left( H,\left( SDE \right) \right)$.
Kẻ $HK\bot DE$, $HI\bot SK$.
Ta có $DE\bot \left( SHK \right)\Rightarrow DE\bot HI$. Suy ra $HI\bot \left( SDE \right)$.
Vậy $\text{d}\left( BH,SD \right)=\text{d}\left( H,\left( SDE \right) \right)=HI$.
Trong $\Delta DHE$ vuông tại $H$ ta có $HK.DE=DH.HE\Leftrightarrow HK=\dfrac{DH.HE}{DE}=\dfrac{a.a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong $\Delta SHK$ vuông tại $H$ ta có
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Leftrightarrow HI=\dfrac{SH.HK}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
Vậy $\text{d}\left( SD,BH \right)=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
Đáp án C.