Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=2a$, $AD=a$. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AB, góc tạo bởi cạnh SC với mặt phẳng đáy là 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
Phương pháp
- Tìm góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên ( ABCD) .
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.
- Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng S là: V= $\dfrac{1}{3}$ Sh.
Cách giải:
Vì SH⊥ ( ABCD) ( gt) nên HC là hình chiếu của SC ên ( ABCD) .
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;HC \right)=\angle SCH={{45}^{0}}.~$ Do ABCD là hình chữ nhật, H là trung điểm AB nên AH = BH = $\dfrac{2a}{2}$ = a và HC = $\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}$ = $\sqrt{2}a$
Vì SH⊥ ( ABCD) ⇒ SH⊥ HC⇒∆ SHCvuông tại H.
Do đó, SH= CH.\tan ∠ SCH= a $\sqrt{2}$
Lại có ${{S}_{ABCD}}$ = AB. AD= 2a.a= 2a2 .
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là:
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.2{{a}^{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
- Tìm góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên ( ABCD) .
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.
- Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng S là: V= $\dfrac{1}{3}$ Sh.
Cách giải:
Vì SH⊥ ( ABCD) ( gt) nên HC là hình chiếu của SC ên ( ABCD) .
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;HC \right)=\angle SCH={{45}^{0}}.~$ Do ABCD là hình chữ nhật, H là trung điểm AB nên AH = BH = $\dfrac{2a}{2}$ = a và HC = $\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}$ = $\sqrt{2}a$
Vì SH⊥ ( ABCD) ⇒ SH⊥ HC⇒∆ SHCvuông tại H.
Do đó, SH= CH.\tan ∠ SCH= a $\sqrt{2}$
Lại có ${{S}_{ABCD}}$ = AB. AD= 2a.a= 2a2 .
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là:
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.2{{a}^{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
Đáp án D.