Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2a, AD=3a$
( tham khảo hình vẽ). Tam giác $SAB$ cân ở $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và mặt đáy là $45{}^\circ $. Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $CH$
A. $\dfrac{3\sqrt{10}a}{\sqrt{109}}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{85}a}{17}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{11}a}{11}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{14}a}{7}$.
Tam giác $SAB$ cân ở $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $H$ là trung điểm cạnh $AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Dựng góc $\left( SCD \right),\left( ABCD \right)$ :
$\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD$ $\left( 1 \right)$
Kẻ $HM\bot CD$, $HM$ cắt $CD$ tại $M$ $\left( 2 \right)$
suy ra $M$ là trung điểm của $CD;\ HM=3a$
Mà $CD\bot SH,CD\bot HM\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right)\Rightarrow CD\bot SM$ $\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{SMH}=45{}^\circ $
$\tan \widehat{SMH}=\dfrac{SH}{MH}\Rightarrow SH=MH.\tan 45{}^\circ =3a$.
Gọi $DE$ // $CH\left( E\in AB \right)\Rightarrow CH=ED=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 3a \right)}^{2}}}=a\sqrt{10}$
Dựng khoảng cách $d\left( H,\left( SED \right) \right)$
Kẻ $HF\bot ED$ $\left( F\in ED \right)$, $SH\bot ED$ $\Rightarrow ED\bot \left( SHF \right)$ $\Rightarrow \left( SHF \right)\bot \left( SED \right)$ $\left( 3 \right)$
Mà $\left( SHF \right)\bigcap \left( SED \right)=SF$ $\left( 4 \right)$
Kẻ $HK\bot SF$ $\left( 5 \right)$
Từ $\left( 3 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)$ suy ra $HK\bot \left( SED \right)$ $\Rightarrow d\left( H;\left( SED \right) \right)=HK$
Vì $DE$ // $CH\Rightarrow CH$ // $\left( SED \right)\Rightarrow d\left( SD,CH \right)=d\left( CH,\left( SED \right) \right)=d\left( H,\left( SED \right) \right)=HK$.
Kẻ $AI\bot ED\left( I\in ED \right)\Rightarrow AI=\dfrac{AE.AD}{ED}=\dfrac{a.3a}{a\sqrt{10}}=\dfrac{3a}{\sqrt{10}}\Rightarrow HF=2AI=\dfrac{6a}{\sqrt{10}}$.
$\Rightarrow HK=\dfrac{SH.HF}{SF}=\dfrac{3a.\dfrac{6a}{\sqrt{10}}}{\dfrac{3a\sqrt{35}}{5}}=\dfrac{3a\sqrt{14}}{7}$.
Vậy $d\left( SD,CH \right)=\dfrac{3a\sqrt{14}}{7}$.
( tham khảo hình vẽ). Tam giác $SAB$ cân ở $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và mặt đáy là $45{}^\circ $. Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $CH$
A. $\dfrac{3\sqrt{10}a}{\sqrt{109}}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{85}a}{17}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{11}a}{11}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{14}a}{7}$.
Tam giác $SAB$ cân ở $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $H$ là trung điểm cạnh $AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Dựng góc $\left( SCD \right),\left( ABCD \right)$ :
$\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD$ $\left( 1 \right)$
Kẻ $HM\bot CD$, $HM$ cắt $CD$ tại $M$ $\left( 2 \right)$
suy ra $M$ là trung điểm của $CD;\ HM=3a$
Mà $CD\bot SH,CD\bot HM\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right)\Rightarrow CD\bot SM$ $\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{SMH}=45{}^\circ $
$\tan \widehat{SMH}=\dfrac{SH}{MH}\Rightarrow SH=MH.\tan 45{}^\circ =3a$.
Gọi $DE$ // $CH\left( E\in AB \right)\Rightarrow CH=ED=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 3a \right)}^{2}}}=a\sqrt{10}$
Dựng khoảng cách $d\left( H,\left( SED \right) \right)$
Kẻ $HF\bot ED$ $\left( F\in ED \right)$, $SH\bot ED$ $\Rightarrow ED\bot \left( SHF \right)$ $\Rightarrow \left( SHF \right)\bot \left( SED \right)$ $\left( 3 \right)$
Mà $\left( SHF \right)\bigcap \left( SED \right)=SF$ $\left( 4 \right)$
Kẻ $HK\bot SF$ $\left( 5 \right)$
Từ $\left( 3 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)$ suy ra $HK\bot \left( SED \right)$ $\Rightarrow d\left( H;\left( SED \right) \right)=HK$
Vì $DE$ // $CH\Rightarrow CH$ // $\left( SED \right)\Rightarrow d\left( SD,CH \right)=d\left( CH,\left( SED \right) \right)=d\left( H,\left( SED \right) \right)=HK$.
Kẻ $AI\bot ED\left( I\in ED \right)\Rightarrow AI=\dfrac{AE.AD}{ED}=\dfrac{a.3a}{a\sqrt{10}}=\dfrac{3a}{\sqrt{10}}\Rightarrow HF=2AI=\dfrac{6a}{\sqrt{10}}$.
$\Rightarrow HK=\dfrac{SH.HF}{SF}=\dfrac{3a.\dfrac{6a}{\sqrt{10}}}{\dfrac{3a\sqrt{35}}{5}}=\dfrac{3a\sqrt{14}}{7}$.
Vậy $d\left( SD,CH \right)=\dfrac{3a\sqrt{14}}{7}$.
Đáp án D.