Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ và $SA\bot \left( ABCD \right).$ Biết rằng $AB=a, AD=2a$ và góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng:
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a\sqrt{285}}{9}$.
Ta có $\left( \widehat{SC; \left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SC; AC} \right)=\widehat{SCA}={{60}^{0}}$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}\Rightarrow SA=a\sqrt{5}\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{15}$.
Ta có $\dfrac{d\left[ O; \left( SCD \right) \right]}{d\left[ A; \left( SCD \right) \right]}=\dfrac{OC}{AC}=\dfrac{1}{2}$ suy ra $d\left[ O; \left( SCD \right) \right]=\dfrac{1}{2}d\left[ A; \left( SCD \right) \right]$.
Kẻ $AH\bot SD$ tại $H$. Khi đó ta có $AH=d\left[ A; \left( SCD \right) \right]$.
Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{15{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$.
Vậy $d\left[ O; \left( SCD \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a\sqrt{285}}{9}$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}\Rightarrow SA=a\sqrt{5}\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{15}$.
Ta có $\dfrac{d\left[ O; \left( SCD \right) \right]}{d\left[ A; \left( SCD \right) \right]}=\dfrac{OC}{AC}=\dfrac{1}{2}$ suy ra $d\left[ O; \left( SCD \right) \right]=\dfrac{1}{2}d\left[ A; \left( SCD \right) \right]$.
Kẻ $AH\bot SD$ tại $H$. Khi đó ta có $AH=d\left[ A; \left( SCD \right) \right]$.
Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{15{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$.
Vậy $d\left[ O; \left( SCD \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$.
Đáp án D.