Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, cạnh $AB=a$, $AD=a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left(ABCD \right)$ là trung điểm của đoạn $OA$. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD \right)$ bằng $30{}^\circ $. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left(SAB \right)$ bằng
A. $\frac{9\sqrt{22}a}{44}$.
B. $\frac{3\sqrt{22}a}{11}$.
C. $\frac{\sqrt{22}a}{11}$.
D. $\frac{3\sqrt{22}a}{44}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
Vì $SH\bot \left( ABCD \right)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là góc $\widehat{SCH}=30{}^\circ $.
$ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow HC=\frac{3a\sqrt{3}}{4}$.
$SH=HC.\tan 30{}^\circ $ $=\frac{3a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3a}{4}$.
Từ $H$ kẻ đường thẳng $HI\bot AB$, $\left( I\in AB \right)$ $\left( 1 \right)$.
Ta có $SH\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SH\bot AB$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)$.
Vì $H$ là trung điểm của $OA$ $\Rightarrow $ $HA=\frac{1}{4}CA$. Do đó $d\left( C; \left( SAB \right) \right)=4d\left( H; \left( SAB \right) \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SHI \right)$, kẻ $HK\bot SI$ $\left( 3 \right)$.
Vì $AB\bot \left( SHI \right)$ $\Rightarrow AB\bot HK$ $\left( 4 \right)$.
Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ $\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)$, suy ra khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $HK$.
Ta lại có: $\frac{HI}{BC}=\frac{AH}{AC}=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
Trong tam giác vuông $SHI$ ta có:
$\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}$ $\Rightarrow H{{K}^{2}}=\frac{\frac{9{{a}^{2}}}{16}.\frac{{{a}^{2}}}{8}}{\frac{9{{a}^{2}}}{16}+\frac{{{a}^{2}}}{8}}$ $=\frac{9{{a}^{2}}}{88}$ $\Rightarrow HK=\frac{3a\sqrt{22}}{44}$.
Vậy khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là: $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=4HK=\frac{3a\sqrt{22}}{11}$.
A. $\frac{9\sqrt{22}a}{44}$.
B. $\frac{3\sqrt{22}a}{11}$.
C. $\frac{\sqrt{22}a}{11}$.
D. $\frac{3\sqrt{22}a}{44}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
Vì $SH\bot \left( ABCD \right)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là góc $\widehat{SCH}=30{}^\circ $.
$ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow HC=\frac{3a\sqrt{3}}{4}$.
$SH=HC.\tan 30{}^\circ $ $=\frac{3a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3a}{4}$.
Từ $H$ kẻ đường thẳng $HI\bot AB$, $\left( I\in AB \right)$ $\left( 1 \right)$.
Ta có $SH\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SH\bot AB$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)$.
Vì $H$ là trung điểm của $OA$ $\Rightarrow $ $HA=\frac{1}{4}CA$. Do đó $d\left( C; \left( SAB \right) \right)=4d\left( H; \left( SAB \right) \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SHI \right)$, kẻ $HK\bot SI$ $\left( 3 \right)$.
Vì $AB\bot \left( SHI \right)$ $\Rightarrow AB\bot HK$ $\left( 4 \right)$.
Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ $\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)$, suy ra khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $HK$.
Ta lại có: $\frac{HI}{BC}=\frac{AH}{AC}=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
Trong tam giác vuông $SHI$ ta có:
$\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}$ $\Rightarrow H{{K}^{2}}=\frac{\frac{9{{a}^{2}}}{16}.\frac{{{a}^{2}}}{8}}{\frac{9{{a}^{2}}}{16}+\frac{{{a}^{2}}}{8}}$ $=\frac{9{{a}^{2}}}{88}$ $\Rightarrow HK=\frac{3a\sqrt{22}}{44}$.
Vậy khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là: $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=4HK=\frac{3a\sqrt{22}}{11}$.
Đáp án B.