Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
B. ${{a}^{3}}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
B. ${{a}^{3}}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Phương pháp:
- Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Chứng minh $SH\bot \left( ABCD \right).$
- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao của tam giác đều.
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Vì $\Delta SAB$ đều nên $SH\bot AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ nên $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},{{S}_{ABCD}}=AB.AD=a.a\sqrt{3}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
- Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Chứng minh $SH\bot \left( ABCD \right).$
- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao của tam giác đều.
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Vì $\Delta SAB$ đều nên $SH\bot AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ nên $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},{{S}_{ABCD}}=AB.AD=a.a\sqrt{3}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
Đáp án C.