Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ biết rằng mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{30}^{0}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AD$, ta có $SH\bot AD$, $\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right), \left( SAD \right)\cap \left( ABCD \right)=AD$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$ và $SH=a\sqrt{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $BC\bot HM, BC\bot SH\Rightarrow BC\bot SM$.
Vậy $\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SMH}={{30}^{0}}$, suy ra $HM=SH.\cot \widehat{SMH}=3a$.
Khi đó ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.AD.HM=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.2a.3a=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $BC\bot HM, BC\bot SH\Rightarrow BC\bot SM$.
Vậy $\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SMH}={{30}^{0}}$, suy ra $HM=SH.\cot \widehat{SMH}=3a$.
Khi đó ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.AD.HM=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.2a.3a=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.