Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $4a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(...

Phương pháp:
- Gọi $H$ là trung điểm của $AD,$ chứng minh $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right),$ sử dụng định lí $\{\begin{array}{rl}& \left(P\right)\mathrm{\perp }\left(Q\right)=d\\ & a\subset \left(P\right),a\mathrm{\perp }d\end{array}\Rightarrow a\mathrm{\perp }\left(Q\right).$
- Xác định góc giữa $\left(SBC\right)$ và $\left(ABCD\right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùngvuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao $SH.$
- Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{ABCD}$.
Cách giải:

Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC.$ Khi đó ta có:
$\{\begin{array}{rl}& \left(SAD\right)\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)=AD\\ & SH\subset \left(SAD\right),SH\mathrm{\perp }AD\end{array}\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right).$
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& BC\mathrm{\perp }HK\\ & BC\mathrm{\perp }SH\left(SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\right)\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SHK\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SK.$
$\{\begin{array}{rl}& \left(SBC\right)\cap \left(ABCD\right)=BC\\ & SK\subset \left(SBC\right),SK\mathrm{\perp }BC\left(cmt\right)\\ & HK\subset \left(ABCD\right),HK\mathrm{\perp }BC\end{array}\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(SBC\right);\left(ABCD\right))=\mathrm{\angle }(SK;HK)=\mathrm{\angle }SKH={30}^0.$
Vì $\mathrm{\Delta }SAD$ đều cạnh $4a$ nên $SH={\displaystyle \frac{4a\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}a.$
Xét tam giác vuông $SHK$ có: $HK=SH.\cot {30}^0=6a.$
Vậy $V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.2\sqrt{3}a.6a.4a=16\sqrt{3}{a}^3.$