Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $4a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(...

Phương pháp:
- Gọi $H$ là trung điểm của $AD,$ chứng minh $SH\bot \left( ABCD \right),$ sử dụng định lí $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\bot \left( Q \right)=d \\
& a\subset \left( P \right),a\bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a\bot \left( Q \right).$
- Xác định góc giữa $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùngvuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao $SH.$
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}$.
Cách giải:

Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC.$ Khi đó ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)=AD \\
& SH\subset \left( SAD \right),SH\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot HK \\
& BC\bot SH\left( SH\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow BC\bot SK.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& SK\subset \left( SBC \right),SK\bot BC\left( cmt \right) \\
& HK\subset \left( ABCD \right),HK\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SK;HK \right)=\angle SKH={{30}^{0}}.$
Vì $\Delta SAD$ đều cạnh $4a$ nên $SH=\dfrac{4a\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a.$
Xét tam giác vuông $SHK$ có: $HK=SH.\cot {{30}^{0}}=6a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{3}a.6a.4a=16\sqrt{3}{{a}^{3}}.$