Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=4a,SA\bot \left( ABCD \right),$ cạnh $SC$ tạo với đáy góc ${{60}^{o}}.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ $N$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $DN=a.$ Khoảng cách giữa $MN$ và $SB$ là
A. $\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{285}}{19}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{95}}{19}.$
D. $\dfrac{8a}{\sqrt{19}}.$
A. $\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{285}}{19}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{95}}{19}.$
D. $\dfrac{8a}{\sqrt{19}}.$
Lấy $K$ trên $AD$ sao cho $AK=a$ thì $MN//\left( SBK \right); AC=2a\sqrt{5}.$
$\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=d\left( MN,\left( SBK \right) \right)$
$=d\left( N,\left( SBK \right) \right)=2d\left( A,\left( SBK \right) \right).$
Vẽ $AE\bot BK$ tại $E,$ $AH\bot SE$ tại $H.$
Ta có $\left( SAE \right)\bot \left( SBK \right),$
$\left( SAE \right)\cap \left( SBK \right)=SE, AH\bot SE$
$\Rightarrow AH\bot \left( SBK \right)$
$\Rightarrow d\left( A,\left( SBK \right) \right)=AH.SA=AC.\sqrt{3}=2a\sqrt{15}.$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
3799205525780
00
$=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}.$
$\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=d\left( MN,\left( SBK \right) \right)$
$=d\left( N,\left( SBK \right) \right)=2d\left( A,\left( SBK \right) \right).$
Vẽ $AE\bot BK$ tại $E,$ $AH\bot SE$ tại $H.$
Ta có $\left( SAE \right)\bot \left( SBK \right),$
$\left( SAE \right)\cap \left( SBK \right)=SE, AH\bot SE$
$\Rightarrow AH\bot \left( SBK \right)$
$\Rightarrow d\left( A,\left( SBK \right) \right)=AH.SA=AC.\sqrt{3}=2a\sqrt{15}.$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
3799205525780
00
$=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}.$
Đáp án A.