Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật có $A B = a$ ...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật có

A B = a

,

A D = 2 a

;

S A

vuông góc
với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

A B

và

S D

bằng

\frac{a}{2}

. Tính thể tích của khối
chóp

S . A B C D

theo

a

.
A.

\frac{4 \sqrt{15}}{45} a^{3}

.
B.

\frac{4 \sqrt{15}}{15} a^{3}

.
C.

\frac{2 \sqrt{5}}{15} a^{3}

.
D.

\frac{2 \sqrt{5}}{45} a^{3}

.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của điểm

A

trên đường thẳng

S D

.
Ta có

{\begin{aligned} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A \end{aligned} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ A H

.
Vì

{\begin{aligned} A H ⊥ S D \\ A H ⊥ C D \end{aligned}

\Rightarrow A H ⊥ (S C D)

\Rightarrow A H = d (A, (S C D))

.
Mặt khác ta có

{\begin{aligned} A B // C D \\ A B ⊄ (S C D) \\ C D \subset (S C D) \end{aligned} \Rightarrow A B // (S C D) \Rightarrow d (A B, S D) = d (A, (S C D)) = A H

.
Theo bài ra thì

d (A B, S D) = \frac{a}{2}

\Rightarrow A H = \frac{a}{2}

.
Do

Δ S A D

vuông tại

A

có đường cao

A H

nên

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}

\Leftrightarrow \frac{1}{S A^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} - \frac{1}{A D^{2}}

= \frac{15}{4 a^{2}}

\Rightarrow S A = \frac{2 a \sqrt{15}}{15}

.
Vậy

V = \frac{1}{3} A B . A D . S A

= \frac{1}{3} a .2 a . \frac{2 a \sqrt{15}}{15}

= \frac{4 \sqrt{15}}{45} a^{3}

.

Đáp án B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a...