Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a$, $AD=2a$ ; $SA$ vuông góc
với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\dfrac{a}{2}$. Tính thể tích của khối
chóp $S.ABCD$ theo $a$.
A. $\dfrac{4\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{15}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{5}}{45}{{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $SD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot CD \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right) $ $ \Rightarrow AH=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$.
Mặt khác ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB \text{//} CD \\
& AB\not\subset \left( SCD \right) \\
& CD\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\text{//}\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( AB,SD \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$.
Theo bài ra thì $d\left( AB,SD \right)=\dfrac{a}{2}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a}{2}$.
Do $\Delta SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$ $=\dfrac{15}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow SA=\dfrac{2a\sqrt{15}}{15}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}AB.AD.SA$ $=\dfrac{1}{3}a.2a.\dfrac{2a\sqrt{15}}{15}$ $=\dfrac{4\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$.
với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\dfrac{a}{2}$. Tính thể tích của khối
chóp $S.ABCD$ theo $a$.
A. $\dfrac{4\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{15}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{5}}{45}{{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $SD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot CD \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right) $ $ \Rightarrow AH=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$.
Mặt khác ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB \text{//} CD \\
& AB\not\subset \left( SCD \right) \\
& CD\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\text{//}\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( AB,SD \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$.
Theo bài ra thì $d\left( AB,SD \right)=\dfrac{a}{2}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a}{2}$.
Do $\Delta SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$ $=\dfrac{15}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow SA=\dfrac{2a\sqrt{15}}{15}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}AB.AD.SA$ $=\dfrac{1}{3}a.2a.\dfrac{2a\sqrt{15}}{15}$ $=\dfrac{4\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$.
Đáp án B.