Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ hợp với mặt phẳng đáy một góc ${{30}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
Phương pháp:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $SA.$
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $AH\bot BD\left( H\in BD \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AH \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BD\bot SH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \\
& SH\subset \left( SBD \right),SH\bot BD \\
& AH\subset \left( ABCD \right),AH\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SH;AH \right)=\angle SHA={{30}^{0}}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABD$ có: $AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow SA=AH.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $SA.$
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $AH\bot BD\left( H\in BD \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AH \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BD\bot SH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \\
& SH\subset \left( SBD \right),SH\bot BD \\
& AH\subset \left( ABCD \right),AH\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SH;AH \right)=\angle SHA={{30}^{0}}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABD$ có: $AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow SA=AH.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
Đáp án D.