Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $SA=AB=a,AD=3a.$ Gọi M là trung điểm BC. Tính cos góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM).
A. $\dfrac{6}{7}.$
B. $\dfrac{5}{7}.$
C. $\dfrac{3}{7}.$
D. $\dfrac{1}{7}.$
Gắn tọa độ Oxyz,
với $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),D\left( 0;3;0 \right),S\left( 0;0;1 \right)$
Khi đó $C\left( 1;3;0 \right)\Rightarrow $ Trung điểm M của BC là $M\left( 1;\dfrac{3}{2};0 \right).$
Ta có $\overrightarrow{SM}=\left( 1;\dfrac{3}{2};-1 \right),\overrightarrow{SD}=\left( 0;3;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{SM};\overrightarrow{SD} \right]=\left( \dfrac{3}{2};1;3 \right).$
Suy ra ${{\overrightarrow{n}}_{_{\left( SDM \right)}}}=\left( \dfrac{3}{2};1;3 \right)$ mà ${{\overrightarrow{n}}_{_{\left( ABCD \right)}}}={{\overrightarrow{n}}_{_{\left( Oxy \right)}}}=\left( 0;0;1 \right)$, ta được
$\cos \widehat{\left( SDM \right);\left( ABCD \right)}=\dfrac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( SDM \right)}}}.{{\overrightarrow{n}}_{_{\left( ABCD \right)}}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( SDM \right)}}} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( ABCD \right)}}} \right|}=\dfrac{6}{7}.$
A. $\dfrac{6}{7}.$
B. $\dfrac{5}{7}.$
C. $\dfrac{3}{7}.$
D. $\dfrac{1}{7}.$
Gắn tọa độ Oxyz,
với $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),D\left( 0;3;0 \right),S\left( 0;0;1 \right)$
Khi đó $C\left( 1;3;0 \right)\Rightarrow $ Trung điểm M của BC là $M\left( 1;\dfrac{3}{2};0 \right).$
Ta có $\overrightarrow{SM}=\left( 1;\dfrac{3}{2};-1 \right),\overrightarrow{SD}=\left( 0;3;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{SM};\overrightarrow{SD} \right]=\left( \dfrac{3}{2};1;3 \right).$
Suy ra ${{\overrightarrow{n}}_{_{\left( SDM \right)}}}=\left( \dfrac{3}{2};1;3 \right)$ mà ${{\overrightarrow{n}}_{_{\left( ABCD \right)}}}={{\overrightarrow{n}}_{_{\left( Oxy \right)}}}=\left( 0;0;1 \right)$, ta được
$\cos \widehat{\left( SDM \right);\left( ABCD \right)}=\dfrac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( SDM \right)}}}.{{\overrightarrow{n}}_{_{\left( ABCD \right)}}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( SDM \right)}}} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( ABCD \right)}}} \right|}=\dfrac{6}{7}.$
Đáp án A.