Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình chữ nhật biết ${SA = SB = SC = SD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}$ và ${AB = a}$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ${S.ABCD}$ bằng
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3} \cdot }$
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{3} \cdot }$.
C. ${\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3} \cdot }$.
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} \cdot }$.
Gọi $O=AC~\cap BD.$
Vì các tam giác SAC, SBD cân tại S nên SO $\bot $ AC, SO $\bot $ BD, suy ra SO $\bot $ (ABCD).
Đặt SO= x, x > 0 thì OA= $\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}-{{x}^{2}}}\Rightarrow AC=2\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}-{{x}^{2}}}$
Suy ra $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-4{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-4{{x}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $V=\dfrac{1}{3}x.a.2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{2a}{3}.x.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Ta có: $V=\dfrac{2a}{3}.x.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\le \dfrac{2a}{3}.\dfrac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$, dấu bằng khi $x=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3} \cdot }$
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{3} \cdot }$.
C. ${\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3} \cdot }$.
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} \cdot }$.
Gọi $O=AC~\cap BD.$
Vì các tam giác SAC, SBD cân tại S nên SO $\bot $ AC, SO $\bot $ BD, suy ra SO $\bot $ (ABCD).
Đặt SO= x, x > 0 thì OA= $\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}-{{x}^{2}}}\Rightarrow AC=2\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}-{{x}^{2}}}$
Suy ra $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-4{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-4{{x}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $V=\dfrac{1}{3}x.a.2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{2a}{3}.x.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Ta có: $V=\dfrac{2a}{3}.x.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\le \dfrac{2a}{3}.\dfrac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$, dấu bằng khi $x=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Đáp án B.