Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật $AB=\sqrt{2}a, AD=2a$, SA vuông góc với đáy và $SA=\sqrt{2}a$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ ?
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D. $\dfrac{1}{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D. $\dfrac{1}{3}$
Cách 1:
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó $\left( MPQ \right)//\left( SAC \right)$ $\Rightarrow \left( MN,\left( SAC \right) \right)=\left( MN,\left( MPQ \right) \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ $\Rightarrow NH\bot \left( MPQ \right)$
Suy ra: $\left( MN,\left( MPQ \right) \right)=\widehat{NMH}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& NH=\dfrac{2{{S}_{NPQ}}}{PQ}=\dfrac{2.\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCS}}}{\dfrac{AC}{2}}=\dfrac{{{S}_{ABCD}}}{AC}=\dfrac{AB.BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.2a}{a\sqrt{6}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}} \\
& MN=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $MH=\sqrt{M{{N}^{2}}-N{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}$
Suy ra $\cos \widehat{NMP}=\dfrac{MH}{MN}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}:a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Cách 2:
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.
Khi đó: $A\left( 0;0;0 \right), B\left( \sqrt{2};0;0 \right), C\left( \sqrt{2};2;0 \right), D\left( 0;2;0 \right), S\left( 0;0;\sqrt{2} \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};0;\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\
& N\left( 0;1;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{NM}=\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AC}=\left( \sqrt{2};2;0 \right) \\
& \overrightarrow{AS}=\left( 0;0;\sqrt{2} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( 2\sqrt{2};-2;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( SAC \right)}}}=\left( \sqrt{2};-1;0 \right)$
Suy ra $\sin \left( MN,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{MN}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( SAC \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{MN}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( SAC \right)}}} \right|}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
$\Rightarrow \cos \left( MN,\left( SAC \right) \right)=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó $\left( MPQ \right)//\left( SAC \right)$ $\Rightarrow \left( MN,\left( SAC \right) \right)=\left( MN,\left( MPQ \right) \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ $\Rightarrow NH\bot \left( MPQ \right)$
Suy ra: $\left( MN,\left( MPQ \right) \right)=\widehat{NMH}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& NH=\dfrac{2{{S}_{NPQ}}}{PQ}=\dfrac{2.\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCS}}}{\dfrac{AC}{2}}=\dfrac{{{S}_{ABCD}}}{AC}=\dfrac{AB.BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.2a}{a\sqrt{6}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}} \\
& MN=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $MH=\sqrt{M{{N}^{2}}-N{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}$
Suy ra $\cos \widehat{NMP}=\dfrac{MH}{MN}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}:a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Cách 2:
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.
Khi đó: $A\left( 0;0;0 \right), B\left( \sqrt{2};0;0 \right), C\left( \sqrt{2};2;0 \right), D\left( 0;2;0 \right), S\left( 0;0;\sqrt{2} \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};0;\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\
& N\left( 0;1;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{NM}=\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AC}=\left( \sqrt{2};2;0 \right) \\
& \overrightarrow{AS}=\left( 0;0;\sqrt{2} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( 2\sqrt{2};-2;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( SAC \right)}}}=\left( \sqrt{2};-1;0 \right)$
Suy ra $\sin \left( MN,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{MN}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( SAC \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{MN}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( SAC \right)}}} \right|}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
$\Rightarrow \cos \left( MN,\left( SAC \right) \right)=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Đáp án B.