Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a,$ $AD=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2a$. Tính khoảng cách $d$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
B. $d=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$
Gọi $H$ là hình chiếu cúa $A$ lên $BD$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ lên $SH$.
Tam giác $ABD$ vuông tại $A$ có $AH\bot BD$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{3a}{4}$ $\Leftrightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ có $AK\bot SH$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{19}{12{{a}^{2}}}$
$\Leftrightarrow A{{K}^{2}}=\dfrac{12{{a}^{2}}}{19}$ $\Leftrightarrow AK=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$
Gọi $=1+{{\text{e}}^{-1}}-{{\text{e}}^{-4}}$ $\Leftrightarrow $ $I=AC\cap \left( SBD \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{AI}{CI}=\dfrac{d\left( A,\left( SBD \right) \right)}{d\left( C,\left( SBD \right) \right)}$. Mà $ABCD$ là hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm $AC$ nên $\dfrac{AI}{CI}=1$ $\Leftrightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=d\left( C,\left( SBD \right) \right)$ $\Leftrightarrow d=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
B. $d=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$
Gọi $H$ là hình chiếu cúa $A$ lên $BD$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ lên $SH$.
Tam giác $ABD$ vuông tại $A$ có $AH\bot BD$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{3a}{4}$ $\Leftrightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ có $AK\bot SH$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{19}{12{{a}^{2}}}$
$\Leftrightarrow A{{K}^{2}}=\dfrac{12{{a}^{2}}}{19}$ $\Leftrightarrow AK=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$
Gọi $=1+{{\text{e}}^{-1}}-{{\text{e}}^{-4}}$ $\Leftrightarrow $ $I=AC\cap \left( SBD \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{AI}{CI}=\dfrac{d\left( A,\left( SBD \right) \right)}{d\left( C,\left( SBD \right) \right)}$. Mà $ABCD$ là hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm $AC$ nên $\dfrac{AI}{CI}=1$ $\Leftrightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=d\left( C,\left( SBD \right) \right)$ $\Leftrightarrow d=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Đáp án A.