Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=2a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $45{}^\circ $. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$, hãy tính theo $a$ khoảng cách $d$ từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{1513}}{89}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{1315}}{89}$ $\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $d=\dfrac{2a\sqrt{1315}}{89}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$, vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra $SH\bot \left( ABCD \right)$ và $HC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ vậy $\widehat{SCH}=45{}^\circ $.
$d\left( M,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( D,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.2.d\left( H,\left( SAC \right) \right)=d\left( H,\left( SAC \right) \right)$.
Dựng $HI\bot AC, HK\bot SI$,
Dễ thấy $\left. \begin{aligned}
& HK\bot AC \\
& HK\bot SI \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow HK=d\left( H,\left( SAC \right) \right)$.
Tính độ dài $SH$. Xét tam giác vuông $SHC\left( \widehat{H}=90{}^\circ \right)$ có $\widehat{SCH}=45{}^\circ $. Vậy tam giác $SHC$ là tam giác vuông cân đỉnh $H$ nên $SH=HC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.
Ta có ${{S}_{ABC}}=2{{S}_{AHC}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB.BC=2.\dfrac{1}{2}.HI.AC$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}=HI.a\sqrt{5}\Leftrightarrow HI=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$.
Xét tam giác vuông $SHI\left( \widehat{H}=90{}^\circ \right)$ có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{17{{a}^{2}}}=\dfrac{89}{17{{a}^{2}}}$.
$\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}\Rightarrow d\left( M,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{1513}}{89}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{1315}}{89}$ $\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $d=\dfrac{2a\sqrt{1315}}{89}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$, vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra $SH\bot \left( ABCD \right)$ và $HC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ vậy $\widehat{SCH}=45{}^\circ $.
$d\left( M,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( D,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.2.d\left( H,\left( SAC \right) \right)=d\left( H,\left( SAC \right) \right)$.
Dựng $HI\bot AC, HK\bot SI$,
Dễ thấy $\left. \begin{aligned}
& HK\bot AC \\
& HK\bot SI \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow HK=d\left( H,\left( SAC \right) \right)$.
Tính độ dài $SH$. Xét tam giác vuông $SHC\left( \widehat{H}=90{}^\circ \right)$ có $\widehat{SCH}=45{}^\circ $. Vậy tam giác $SHC$ là tam giác vuông cân đỉnh $H$ nên $SH=HC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.
Ta có ${{S}_{ABC}}=2{{S}_{AHC}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB.BC=2.\dfrac{1}{2}.HI.AC$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}=HI.a\sqrt{5}\Leftrightarrow HI=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$.
Xét tam giác vuông $SHI\left( \widehat{H}=90{}^\circ \right)$ có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{17{{a}^{2}}}=\dfrac{89}{17{{a}^{2}}}$.
$\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}\Rightarrow d\left( M,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}$.
Đáp án A.