Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $BC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Dựng điểm $E$ sao cho $ACBE$ là hình bình hành. Khi đó: $AC//EB\Rightarrow AC//\left( SBE \right)$.
$\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBE \right) \right)=d\left( A,\left( SBE \right) \right) \left( 1 \right)$
Kẻ $AI\bot EB \left( I\in EB \right)$ và kẻ $AH\bot SI \left( H\in SI \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBE \right) \right)=AH \left( 2 \right)$
Xét tam giác $ABE$ có: $\dfrac{1}{A I^2}=\dfrac{1}{A B^2}+\dfrac{1}{A E^2}=\dfrac{1}{4 a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{5}{4 a^2}$
Xét $\Delta SAI$, ta có: $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{S A^2}+\dfrac{1}{A I^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4 a^2}=\dfrac{9}{4 a^2} \Rightarrow A H=\dfrac{2}{3} a$ $\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right) ; \left( 2 \right) ; \left( 3 \right)$ suy ra $h=d(A C, S B)=\dfrac{2 a}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
$\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBE \right) \right)=d\left( A,\left( SBE \right) \right) \left( 1 \right)$
Kẻ $AI\bot EB \left( I\in EB \right)$ và kẻ $AH\bot SI \left( H\in SI \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBE \right) \right)=AH \left( 2 \right)$
Xét tam giác $ABE$ có: $\dfrac{1}{A I^2}=\dfrac{1}{A B^2}+\dfrac{1}{A E^2}=\dfrac{1}{4 a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{5}{4 a^2}$
Xét $\Delta SAI$, ta có: $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{S A^2}+\dfrac{1}{A I^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4 a^2}=\dfrac{9}{4 a^2} \Rightarrow A H=\dfrac{2}{3} a$ $\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right) ; \left( 2 \right) ; \left( 3 \right)$ suy ra $h=d(A C, S B)=\dfrac{2 a}{3}$.
Đáp án B.