Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a$ và $AD=2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $
A. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{45}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
Hạ $AE\bot BD$, theo giả thiết $BD\bot SA\Rightarrow BD\bot \left( SAE \right)\Rightarrow BD\bot SE\Rightarrow \widehat{SEA}=60{}^\circ $
Ta có: $\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AE=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a\Rightarrow SA=AE.\tan 60{}^\circ =\dfrac{2\sqrt{15}}{5}a$
Vậy: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.AB.AD=\dfrac{4\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}$.
A. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{45}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
Ta có: $\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AE=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a\Rightarrow SA=AE.\tan 60{}^\circ =\dfrac{2\sqrt{15}}{5}a$
Vậy: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.AB.AD=\dfrac{4\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.