Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a$ và $AD=2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
Kẻ $AE\bot BD$
$\left( \widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SEA}={{60}^{0}}$
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$
$AE=\dfrac{AD.AB}{\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Xét $\Delta SAE$ vuông tại $A$
$SA=AE.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.\sqrt{3}=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$
Khi đó thể tích $S.ABCD$
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}.2{{a}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
$\left( \widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SEA}={{60}^{0}}$
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$
$AE=\dfrac{AD.AB}{\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Xét $\Delta SAE$ vuông tại $A$
$SA=AE.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.\sqrt{3}=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$
Khi đó thể tích $S.ABCD$
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}.2{{a}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15}$
Đáp án C.