Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=3,AD=4$ và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{250\sqrt{3}}{3}\pi $.
B. $V=\dfrac{125\sqrt{3}}{6}\pi $.
C. $V=\dfrac{50\sqrt{3}}{3}\pi $.
D. $V=\dfrac{500\sqrt{3}}{27}\pi $.
Các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy góc 60.
Kẻ $SH\bot \left( ABCD \right)$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Trên $\left( SHD \right)$, đường trung trực của đoạn thẳng SD cắt SH tại O thì O là tâm mặt cầu.
Ta có $\Delta SHD\sim \Delta SPO\Rightarrow \dfrac{SH}{SP}=\dfrac{SD}{SO}\Rightarrow SO=\dfrac{SP.SD}{SH}=\dfrac{S{{D}^{2}}}{2SH}$.
Cạnh $HD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\sqrt{C{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\dfrac{5}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \tan 60{}^\circ =\dfrac{SH}{HD}\Rightarrow SH=\dfrac{5\sqrt{3}}{2} \\
& \cos 60{}^\circ =\dfrac{HD}{SD}\Rightarrow SD=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow R=SO=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{500\pi \sqrt{3}}{27}$.
A. $V=\dfrac{250\sqrt{3}}{3}\pi $.
B. $V=\dfrac{125\sqrt{3}}{6}\pi $.
C. $V=\dfrac{50\sqrt{3}}{3}\pi $.
D. $V=\dfrac{500\sqrt{3}}{27}\pi $.
Các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy góc 60.
Kẻ $SH\bot \left( ABCD \right)$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Trên $\left( SHD \right)$, đường trung trực của đoạn thẳng SD cắt SH tại O thì O là tâm mặt cầu.
Ta có $\Delta SHD\sim \Delta SPO\Rightarrow \dfrac{SH}{SP}=\dfrac{SD}{SO}\Rightarrow SO=\dfrac{SP.SD}{SH}=\dfrac{S{{D}^{2}}}{2SH}$.
Cạnh $HD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\sqrt{C{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\dfrac{5}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \tan 60{}^\circ =\dfrac{SH}{HD}\Rightarrow SH=\dfrac{5\sqrt{3}}{2} \\
& \cos 60{}^\circ =\dfrac{HD}{SD}\Rightarrow SD=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow R=SO=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{500\pi \sqrt{3}}{27}$.
Đáp án D.