Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=2, AD=4$, $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SB$ tạo với đáy góc ${{60}^{0}}$, điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ và $AE=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$. Mặt phẳng $\left( BCE \right)$ cắt $SD$ tại $F$. Thể tích khối đa diện $ABCDEF$ bằng
A. $\dfrac{64\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{64\sqrt{3}}{27}$.
C. $\dfrac{80\sqrt{3}}{27}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$.
Xét $\left( BEC \right)$ và $\left( SAD \right)$ có điểm $E$ chung và $BC$ song song $AD$ nên giao tuyến là đường thẳng qua $E$ và song song $AD$ cắt $SD$ tại $F$.
Góc giữa $SB$ với đáy bằng ${{60}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{SBA}={{60}^{0}}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=2\sqrt{3}$
Mặt khác $AE=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ nên $AE=\dfrac{1}{3}SA\Rightarrow SE=\dfrac{2}{3}SA$
Xét $\Delta SAD$ ta có: $\dfrac{SE}{SA}=\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{2}{3}$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{SBEC}}}{{{V}_{SBAC}}}=\dfrac{SE}{SA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{SBEC}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{SBAC}}\Rightarrow {{V}_{SBEC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{SABCD}}$
$\dfrac{{{V}_{SEFC}}}{{{V}_{SADC}}}=\dfrac{SE}{SA}.\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{SEFC}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{SADC}}\Rightarrow {{V}_{SEFC}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{SABCD}}$
Khi đó ${{V}_{SBCFE}}={{V}_{SBEC}}+{{V}_{SEFC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{SABCD}}+\dfrac{2}{9}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{SABCD}}$
Suy ra ${{V}_{ABCDFE}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{3}.2\sqrt{3}.2.4=\dfrac{64\sqrt{3}}{27}$
A. $\dfrac{64\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{64\sqrt{3}}{27}$.
C. $\dfrac{80\sqrt{3}}{27}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$.
Góc giữa $SB$ với đáy bằng ${{60}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{SBA}={{60}^{0}}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=2\sqrt{3}$
Mặt khác $AE=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ nên $AE=\dfrac{1}{3}SA\Rightarrow SE=\dfrac{2}{3}SA$
Xét $\Delta SAD$ ta có: $\dfrac{SE}{SA}=\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{2}{3}$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{SBEC}}}{{{V}_{SBAC}}}=\dfrac{SE}{SA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{SBEC}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{SBAC}}\Rightarrow {{V}_{SBEC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{SABCD}}$
$\dfrac{{{V}_{SEFC}}}{{{V}_{SADC}}}=\dfrac{SE}{SA}.\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{SEFC}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{SADC}}\Rightarrow {{V}_{SEFC}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{SABCD}}$
Khi đó ${{V}_{SBCFE}}={{V}_{SBEC}}+{{V}_{SEFC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{SABCD}}+\dfrac{2}{9}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{SABCD}}$
Suy ra ${{V}_{ABCDFE}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{3}.2\sqrt{3}.2.4=\dfrac{64\sqrt{3}}{27}$
Đáp án B.