T

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=1$...

Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=1$, $AD=\sqrt{10}$, $SA=SB$, $SC=SD$. Biết mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\Delta SAB$ và $\Delta SCD$ bằng $2$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $2$.
B. $1$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
image15.png
Ta có ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{A.SCD}}$ $=\dfrac{2}{3}d\left( A,\left( SCD \right) \right).{{S}_{SCD}}$.
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx$ $\text{// }AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, $N$ là trung điểm của $AB$.
$\Rightarrow SM\bot CD$, $SN\bot AB$ $\Rightarrow SM\bot Sx$, $SN\bot Sx$.
Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow SN\bot \left( SCD \right)$ tại $S$, $\widehat{NSM}=90{}^\circ $
$d\left( A,\left( SCD \right) \right)=d\left( N,\left( SCD \right) \right)=SN$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{2}{3}.SN.\dfrac{1}{2}.SM.CD$.
$S{{N}^{2}}+S{{M}^{2}}=M{{N}^{2}}=A{{D}^{2}}=10$.
$S{}_{SAB}+{{S}_{SCD}}$ $=\dfrac{1}{2}SN.AB+\dfrac{1}{2}SM.CD$ $=\dfrac{1}{2}AB\left( SN+SM \right)$ $\Rightarrow 2=\dfrac{1}{2}.1.\left( SN+SM \right)$.
$\Rightarrow SN+SM=4$
$\Rightarrow S{{N}^{2}}+S{{M}^{2}}+2SN.SM=16$ $\Rightarrow SN.SM=3$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.3.1=1$ (đvtt).
Đáp án B.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top