Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $SA=SB=a\sqrt{6},CD=2a\sqrt{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai vecto $\overrightarrow{CD} $ và $\overrightarrow{AS}$. Tính $\cos \varphi .~$
A. $\cos \varphi =-\dfrac{2}{\sqrt{6}}$
B. $\cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
C. $\cos \varphi =-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D. $\cos \varphi =\dfrac{2}{\sqrt{6}}$
A. $\cos \varphi =-\dfrac{2}{\sqrt{6}}$
B. $\cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
C. $\cos \varphi =-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D. $\cos \varphi =\dfrac{2}{\sqrt{6}}$
Phương pháp
Ta có: $\angle \left( \overrightarrow{a,}\overrightarrow{b} \right)=\angle \left( \overrightarrow{a,}\overrightarrow{c} \right)$ với $\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}$ là hai vecto cùng chiều.
Cách giải:
Ta có: $AB//CD\Rightarrow \angle \left( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{CD} \right)=\angle \left( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{BA} \right)=\angle SAx$
Vì ABCD là hình bình hành $\Rightarrow AB=CD=2a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lý hàm số cos cho $\Delta SAB$ ta có:
$\cos \angle SAB=\dfrac{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}-S{{B}^{2}}}{2SA.AB}=\dfrac{6{{a}^{2}}+8{{a}^{2}}-6{{a}^{2}}}{2.a\sqrt{6}.2a\sqrt{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Lại có: $\angle SAx={{180}^{0}}-\angle SAB\Rightarrow \cos \angle SAx=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Ta có: $\angle \left( \overrightarrow{a,}\overrightarrow{b} \right)=\angle \left( \overrightarrow{a,}\overrightarrow{c} \right)$ với $\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}$ là hai vecto cùng chiều.
Cách giải:
Ta có: $AB//CD\Rightarrow \angle \left( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{CD} \right)=\angle \left( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{BA} \right)=\angle SAx$
Vì ABCD là hình bình hành $\Rightarrow AB=CD=2a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lý hàm số cos cho $\Delta SAB$ ta có:
$\cos \angle SAB=\dfrac{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}-S{{B}^{2}}}{2SA.AB}=\dfrac{6{{a}^{2}}+8{{a}^{2}}-6{{a}^{2}}}{2.a\sqrt{6}.2a\sqrt{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Lại có: $\angle SAx={{180}^{0}}-\angle SAB\Rightarrow \cos \angle SAx=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Đáp án C.