Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB; mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ.
A. $\dfrac{V}{2}$
B. $\dfrac{V}{3}$
C. $\dfrac{3V}{4}$
D. $\dfrac{2V}{3}$
Gọi $a=\dfrac{SK}{SC} \left( 0\le a\le 1 \right)$.
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức.
$\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SK}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\Rightarrow 2+\dfrac{1}{a}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{SD}{SQ}\Leftrightarrow \dfrac{SQ}{SD}=\dfrac{2a}{2+a}$
Ta có
$\dfrac{{{V}_{S.MNKQ}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SK}{SC}+\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SK}{SC}.\dfrac{SQ}{SD} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{4a}{3}-\dfrac{2}{a+2} \right)=\dfrac{2a}{3}-\dfrac{1}{a+2}$
Xét hàm $f\left( a \right)=\dfrac{2\text{a}}{3}-\dfrac{1}{a+2}$ trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$, ta được $\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( a \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{3}$.
Ta chứng minh $\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}$
Ta có ${{V}_{S.ABCD}}={{V}_{SPNQ}}+{{V}_{SQMP}}$ (*). Ta đặt $V={{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow {{V}_{SABC}}={{V}_{SAB\text{D}}}={{V}_{SBC\text{D}}}=\dfrac{V}{2}$
$\dfrac{{{V}_{SMNQ}}}{{{V}_{SABD}}}=\dfrac{2{{V}_{SMNQ}}}{V}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}\Rightarrow {{V}_{SNMQ}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}.\dfrac{V}{2}$
Tương tự ${{V}_{SPNQ}}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}.\dfrac{V}{2}; {{V}_{SMNP}}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{V}{2}; {{V}_{SPQM}}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SQ}{SD}.\dfrac{V}{2}$.
Từ (*) ta được: $\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}+\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SM}{SA}+\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SQ}{SD}$
Chia cả 2 vế cho $\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}$ ta được $\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}$
A. $\dfrac{V}{2}$
B. $\dfrac{V}{3}$
C. $\dfrac{3V}{4}$
D. $\dfrac{2V}{3}$
Gọi $a=\dfrac{SK}{SC} \left( 0\le a\le 1 \right)$.
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức.
$\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SK}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\Rightarrow 2+\dfrac{1}{a}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{SD}{SQ}\Leftrightarrow \dfrac{SQ}{SD}=\dfrac{2a}{2+a}$
Ta có
$\dfrac{{{V}_{S.MNKQ}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SK}{SC}+\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SK}{SC}.\dfrac{SQ}{SD} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{4a}{3}-\dfrac{2}{a+2} \right)=\dfrac{2a}{3}-\dfrac{1}{a+2}$
Xét hàm $f\left( a \right)=\dfrac{2\text{a}}{3}-\dfrac{1}{a+2}$ trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$, ta được $\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( a \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{3}$.
Ta chứng minh $\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}$
Ta có ${{V}_{S.ABCD}}={{V}_{SPNQ}}+{{V}_{SQMP}}$ (*). Ta đặt $V={{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow {{V}_{SABC}}={{V}_{SAB\text{D}}}={{V}_{SBC\text{D}}}=\dfrac{V}{2}$
$\dfrac{{{V}_{SMNQ}}}{{{V}_{SABD}}}=\dfrac{2{{V}_{SMNQ}}}{V}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}\Rightarrow {{V}_{SNMQ}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}.\dfrac{V}{2}$
Tương tự ${{V}_{SPNQ}}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}.\dfrac{V}{2}; {{V}_{SMNP}}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{V}{2}; {{V}_{SPQM}}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SQ}{SD}.\dfrac{V}{2}$.
Từ (*) ta được: $\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}+\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}=\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SM}{SA}+\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SQ}{SD}$
Chia cả 2 vế cho $\dfrac{SP}{SC}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SQ}{SD}$ ta được $\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}$
Đáp án B.