Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $C$ qua B và là trung điểm của SC. Mặt phẳng $\left( MND \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $S$ có thể tích $V_{1}$, khối đa diện còn lại có thể tích $V_{2}$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.
A. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{12}{7}$.
B. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{5}{3}$.
C. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{1}{5}$.
D. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{7}{5}$.
Gọi V là thể tích khối chóp $S.ABCD$.
$\begin{aligned}
&\text { Có } B P / / D C \Rightarrow \dfrac{B P}{D C}=\dfrac{M P}{M D}=\dfrac{M B}{M C}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{B P}{A B}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow P
\end{aligned}$là trung điểm của AB.
Ta có $\Delta MBP=\Delta DAP(c.g.c)\Rightarrow {{S}_{\Delta MBP}}={{S}_{\Delta DAP}}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta MBP}}+{{S}_{BCDP}}={{S}_{\Delta DAP}}+{{S}_{BCDP}}\Rightarrow {{S}_{MCD}}={{S}_{ABCD}}$
Mà $\dfrac{d(N;(MCD))}{d(S;(ABCD))}=\dfrac{NC}{SC}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{N.MCD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}{{S}_{MCD}}.d(N,(MCD))}{\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.d(S,(ABCD))}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{N.MCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{V}{2}$
Xét tam giác $MNC$, áp dụng định lý Mênêlauýt cho bộ ba điểm thẳng hàng $B,Q,S$ ta có:
$\dfrac{BM}{BC}\cdot \dfrac{SC}{SN}\cdot \dfrac{QN}{QM}=1\Leftrightarrow 1.2.\dfrac{QN}{QM}=1\Leftrightarrow \dfrac{QN}{QM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{M.PBQ}}}{{{V}_{M.NCD}}}=\dfrac{MB}{MC}\cdot \dfrac{MP}{MD}\cdot \dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{M.PBQ}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{M.NCD}}=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{V}{2}=\dfrac{V}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{BPQ.CDN}}={{V}_{M.CDN}}-{{V}_{M.BPQ}}=\dfrac{V}{2}-\dfrac{V}{12}=\dfrac{5V}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{5V}{12}\Rightarrow {{V}_{1}}=V-\dfrac{5V}{12}=\dfrac{7V}{12}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{5}$.
A. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{12}{7}$.
B. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{5}{3}$.
C. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{1}{5}$.
D. $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{7}{5}$.
Gọi V là thể tích khối chóp $S.ABCD$.
$\begin{aligned}
&\text { Có } B P / / D C \Rightarrow \dfrac{B P}{D C}=\dfrac{M P}{M D}=\dfrac{M B}{M C}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{B P}{A B}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow P
\end{aligned}$là trung điểm của AB.
Ta có $\Delta MBP=\Delta DAP(c.g.c)\Rightarrow {{S}_{\Delta MBP}}={{S}_{\Delta DAP}}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta MBP}}+{{S}_{BCDP}}={{S}_{\Delta DAP}}+{{S}_{BCDP}}\Rightarrow {{S}_{MCD}}={{S}_{ABCD}}$
Mà $\dfrac{d(N;(MCD))}{d(S;(ABCD))}=\dfrac{NC}{SC}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{N.MCD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}{{S}_{MCD}}.d(N,(MCD))}{\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.d(S,(ABCD))}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{N.MCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{V}{2}$
Xét tam giác $MNC$, áp dụng định lý Mênêlauýt cho bộ ba điểm thẳng hàng $B,Q,S$ ta có:
$\dfrac{BM}{BC}\cdot \dfrac{SC}{SN}\cdot \dfrac{QN}{QM}=1\Leftrightarrow 1.2.\dfrac{QN}{QM}=1\Leftrightarrow \dfrac{QN}{QM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{M.PBQ}}}{{{V}_{M.NCD}}}=\dfrac{MB}{MC}\cdot \dfrac{MP}{MD}\cdot \dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{M.PBQ}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{M.NCD}}=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{V}{2}=\dfrac{V}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{BPQ.CDN}}={{V}_{M.CDN}}-{{V}_{M.BPQ}}=\dfrac{V}{2}-\dfrac{V}{12}=\dfrac{5V}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{5V}{12}\Rightarrow {{V}_{1}}=V-\dfrac{5V}{12}=\dfrac{7V}{12}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{5}$.
Đáp án D.