Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $K$ là trung điểm của $SC$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $AK$ và cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Đặt ${{V}_{1}}={{V}_{S.AMKN}},V={{V}_{S.ABCD}}$. Tìm $S=\max \dfrac{{{V}_{1}}}{V}+\min \dfrac{{{V}_{1}}}{V}$.
A. $S=\dfrac{1}{2}$.
B. $S=\dfrac{1}{4}$.
C. $S=\dfrac{17}{24}$.
D. $S=\dfrac{3}{4}$.
Đặt $x=\dfrac{SM}{SB};y=\dfrac{SN}{SD}$. Tính $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ theo $x$ và $y$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.AMK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow {{V}_{S.AMK}}=\dfrac{x}{4}V$.
Tương tự ta có ${{V}_{S.ANK}}=\dfrac{y}{4}V$.
Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{x+y}{4}\left( 1 \right)$
Lại có ${{V}_{1}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.MNK}}$ và ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{2}V$.
Mà $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SD}=xy\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{xy}{2}V$
$\dfrac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{xy}{2}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\dfrac{xy}{4}V$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{3xy}{4}\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $y=\dfrac{x}{3x-1}$.
Do $x>0;y>0$ nên $x>\dfrac{1}{3}$.
Vì $y\le 1\Rightarrow \dfrac{x}{3x-1}\le 1\Rightarrow x\ge \dfrac{1}{2}$. Vậy ta có $x\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{3xy}{4}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4\left( 3x-1 \right)}$ với $x\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$.
Có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{3x\left( 3x-2 \right)}{4{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{3};\max \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{17}{24}$.
A. $S=\dfrac{1}{2}$.
B. $S=\dfrac{1}{4}$.
C. $S=\dfrac{17}{24}$.
D. $S=\dfrac{3}{4}$.
Đặt $x=\dfrac{SM}{SB};y=\dfrac{SN}{SD}$. Tính $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ theo $x$ và $y$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.AMK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow {{V}_{S.AMK}}=\dfrac{x}{4}V$.
Tương tự ta có ${{V}_{S.ANK}}=\dfrac{y}{4}V$.
Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{x+y}{4}\left( 1 \right)$
Lại có ${{V}_{1}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.MNK}}$ và ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{2}V$.
Mà $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SD}=xy\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{xy}{2}V$
$\dfrac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{xy}{2}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\dfrac{xy}{4}V$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{3xy}{4}\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $y=\dfrac{x}{3x-1}$.
Do $x>0;y>0$ nên $x>\dfrac{1}{3}$.
Vì $y\le 1\Rightarrow \dfrac{x}{3x-1}\le 1\Rightarrow x\ge \dfrac{1}{2}$. Vậy ta có $x\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{3xy}{4}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4\left( 3x-1 \right)}$ với $x\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$.
Có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{3x\left( 3x-2 \right)}{4{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{3};\max \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{17}{24}$.
Đáp án C.