Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Biết tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$, $AC=a;\widehat{SCD}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC;\ AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Dựng $SI\bot \left( ABC \right)$ tại $I$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SI \\
& BC\bot SB \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow BC\bot BI$.
Tương tự ta cũng có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SC \\
& CD\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot IC$
$ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ $\Rightarrow ABCI$ là hình vuông
$\Rightarrow BI=BC=CA=a$, $DC=AB=a\sqrt{2}$.
Ta có $AC=BC=a$ nên ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}CA.CB=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}={{a}^{2}}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CA\bot AI \\
& CA\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CA\bot SA$
$SC=2\ AM=a\sqrt{3}$ và $IC=a\sqrt{2}$
$SI=\sqrt{S{{C}^{2}}-I{{C}^{2}}}=a$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}a.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
& BC\bot SI \\
& BC\bot SB \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow BC\bot BI$.
Tương tự ta cũng có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SC \\
& CD\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot IC$
$ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ $\Rightarrow ABCI$ là hình vuông
$\Rightarrow BI=BC=CA=a$, $DC=AB=a\sqrt{2}$.
Ta có $AC=BC=a$ nên ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}CA.CB=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}={{a}^{2}}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CA\bot AI \\
& CA\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CA\bot SA$
$SC=2\ AM=a\sqrt{3}$ và $IC=a\sqrt{2}$
$SI=\sqrt{S{{C}^{2}}-I{{C}^{2}}}=a$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}a.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án B.