Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với đáy và $SB=a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$.
Xét tam giác vuông SAB có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$.
Xét tam giác vuông SAB có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
Đáp án B.