. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 27. Gọi

M, N, P, Q

lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh

A, B, C, D, M, N, P, Q

.
A. 54.
B. 51.
C. 41.
D. 57.

Thể tích khối chóp

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} .9 .27 = 81.

Gọi I, J, K, L lần lượt là giao điểm của mặt phẳng

(M N P Q)

và SA, SB, SC, SD.
Vì

I J K L

đồng dạng với ABCD theo tỉ số

\frac{2}{3}

nên

S_{I J K L} = \frac{4}{9} S_{A B C D} .

Thể tích các khối chóp AIMQ, BJMN, CKNP, DLPQ bằng nhau và bằng

V_{2} = \frac{1}{3} . S_{I M Q} . d (A, (I M Q)) = \frac{1}{3} . \frac{1}{8} . S_{M B P Q} . \frac{1}{3} . d (S, (A B C D))

= \frac{1}{3} . \frac{1}{8} . \frac{4}{9} . S_{A B C D} . \frac{1}{3} . d (S, (A B C D)) = \frac{1}{54} .81 = \frac{3}{2} .

Thể tích

V_{1} = V_{I J K L . A B C D} = V_{S . A B C D} - V_{S . I J K L} = V_{S . A B C D} - \frac{1}{3} . S_{I J K L} . d (S, (I J K L))

= V_{S . A B C D} - \frac{1}{3} . \frac{4}{9} . S_{A B C D} . \frac{2}{3} . d (S, (A B C D)) = \frac{19}{27} V_{S . A B C D} = 57.

Vậy thể tích cần tính bằng

V = V_{1} - 4 V_{2} = 57 - 4. \frac{3}{2} = 51.

Đáp án B.