Google
Câu hỏi: . Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 27. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh $A,B,C,D,M,N,P,Q$.
A. 54.
B. 51.
C. 41.
D. 57.
Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.9.27=81.$
Gọi I, J, K, L lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( MNPQ \right)$ và SA, SB, SC, SD.
Vì $IJKL$ đồng dạng với ABCD theo tỉ số $\dfrac{2}{3}$ nên ${{S}_{IJKL}}=\dfrac{4}{9}{{S}_{ABCD}}.$
Thể tích các khối chóp AIMQ, BJMN, CKNP, DLPQ bằng nhau và bằng
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{IMQ}}.d\left( A,\left( IMQ \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{8}.{{S}_{MBPQ}}.\dfrac{1}{3}.d\left( S,\left( ABCD \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{8}.\dfrac{4}{9}.{{S}_{ABCD}}.\dfrac{1}{3}.d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{54}.81=\dfrac{3}{2}.$
Thể tích ${{V}_{1}}={{V}_{IJKL.ABCD}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.IJKL}}={{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{1}{3}.{{S}_{IJKL}}.d\left( S,\left( IJKL \right) \right)$
$={{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{4}{9}.{{S}_{ABCD}}.\dfrac{2}{3}.d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{19}{27}{{V}_{S.ABCD}}=57.$
Vậy thể tích cần tính bằng $V={{V}_{1}}-4{{V}_{2}}=57-4.\dfrac{3}{2}=51.$
A. 54.
B. 51.
C. 41.
D. 57.
Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.9.27=81.$
Gọi I, J, K, L lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( MNPQ \right)$ và SA, SB, SC, SD.
Vì $IJKL$ đồng dạng với ABCD theo tỉ số $\dfrac{2}{3}$ nên ${{S}_{IJKL}}=\dfrac{4}{9}{{S}_{ABCD}}.$
Thể tích các khối chóp AIMQ, BJMN, CKNP, DLPQ bằng nhau và bằng
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{IMQ}}.d\left( A,\left( IMQ \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{8}.{{S}_{MBPQ}}.\dfrac{1}{3}.d\left( S,\left( ABCD \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{8}.\dfrac{4}{9}.{{S}_{ABCD}}.\dfrac{1}{3}.d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{54}.81=\dfrac{3}{2}.$
Thể tích ${{V}_{1}}={{V}_{IJKL.ABCD}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.IJKL}}={{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{1}{3}.{{S}_{IJKL}}.d\left( S,\left( IJKL \right) \right)$
$={{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{4}{9}.{{S}_{ABCD}}.\dfrac{2}{3}.d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{19}{27}{{V}_{S.ABCD}}=57.$
Vậy thể tích cần tính bằng $V={{V}_{1}}-4{{V}_{2}}=57-4.\dfrac{3}{2}=51.$
Đáp án B.