Cho hình chóp S. ABCD có cạnh đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,\text{ }SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SO=a.$ Khoảng cách...

Phương pháp:
- Chứng minh $d\left( SC;AB \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)$
- Đổi điểm tính khoảng cách chứng minh $d\left( SC;AB \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right)$.
- Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ trong $\left( SOM \right)$ kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right),$ chứng minh $OH\bot \left( SCD \right)$.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SOM$ để tính $OH.$
Cách giải:

Ta có $AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right)\supset SC\Rightarrow d\left( SC;AB \right)=d\left( AB;\left( SCD \right) \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)$.
Lại có $AO\cap \left( SCD \right)=C\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( SCD \right) \right)}{d\left( O;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{AC}{OC}=2\Rightarrow d\left( SC;AB \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right)$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ trong $\left( SOM \right)$ kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot OM \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOM \right)\Rightarrow CD\bot OH$
$\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot CD \\
& OH\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OH$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SOM:OH=\dfrac{SO.OM}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}.$
Vậy $d\left( SC;AB \right)=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$