Google
Câu hỏi: . Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng $\left( SAB \right),\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B, có $AD=2AB=2BC=2a$, $SA=AC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
Gọi M là trung điểm $A\text{D}\Rightarrow M\text{D}=BC=\dfrac{A\text{D}}{2}$ và $M\text{D // BC }\Rightarrow \text{MD}CB$ là hình bình hành.
$\Rightarrow BM\text{ // CD}\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}C\text{D}\bot \left( SBM \right)\Rightarrow d\left( C\text{D};SB \right)=d\left( C\text{D};(SBM) \right)$
$\Rightarrow d\left( C\text{D};SB \right)=d\left( D;(SBM) \right)=d\left( A;(SBM) \right)$
Gọi $O=BM\cap AC$. Dễ dàng chứng minh AMCB là hình vuông $\Rightarrow AC\bot BM$
$\xrightarrow{BM\bot \text{S}A}BM\bot \left( SAC \right)$ tại $O\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}\left( SBM \right)\bot \left( SAO \right)$ theo giao tuyến SO.
Trong $\left( SAO \right)$, kẻ $AH\bot \text{S}O\Rightarrow AH\bot \left( SBM \right)\Rightarrow AH=d\left( A;(SBM) \right)$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{5}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
Gọi M là trung điểm $A\text{D}\Rightarrow M\text{D}=BC=\dfrac{A\text{D}}{2}$ và $M\text{D // BC }\Rightarrow \text{MD}CB$ là hình bình hành.
$\Rightarrow BM\text{ // CD}\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}C\text{D}\bot \left( SBM \right)\Rightarrow d\left( C\text{D};SB \right)=d\left( C\text{D};(SBM) \right)$
$\Rightarrow d\left( C\text{D};SB \right)=d\left( D;(SBM) \right)=d\left( A;(SBM) \right)$
Gọi $O=BM\cap AC$. Dễ dàng chứng minh AMCB là hình vuông $\Rightarrow AC\bot BM$
$\xrightarrow{BM\bot \text{S}A}BM\bot \left( SAC \right)$ tại $O\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}\left( SBM \right)\bot \left( SAO \right)$ theo giao tuyến SO.
Trong $\left( SAO \right)$, kẻ $AH\bot \text{S}O\Rightarrow AH\bot \left( SBM \right)\Rightarrow AH=d\left( A;(SBM) \right)$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{5}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Đáp án D.