. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng $\left( SAB...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng

(S A B), (S A D)

cùng vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

, đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B, có

A D = 2 A B = 2 B C = 2 a

,

S A = A C

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:
A.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

B.

\frac{a \sqrt{15}}{5}

C.

\frac{a \sqrt{3}}{4}

D.

\frac{a \sqrt{10}}{5}

Gọi M là trung điểm

A D \Rightarrow M D = B C = \frac{A D}{2}

và

M D // BC \Rightarrow MD C B

là hình bình hành.

\Rightarrow B M // CD \overset{B M \subset (S B M)}{\to} C D ⊥ (S B M) \Rightarrow d (C D; S B) = d (C D; (S B M))

\Rightarrow d (C D; S B) = d (D; (S B M)) = d (A; (S B M))

Gọi

O = B M \cap A C

. Dễ dàng chứng minh AMCB là hình vuông

\Rightarrow A C ⊥ B M

\overset{B M ⊥ S A}{\to} B M ⊥ (S A C)

tại

O \overset{B M \subset (S B M)}{\to} (S B M) ⊥ (S A O)

theo giao tuyến SO.
Trong

(S A O)

, kẻ

A H ⊥ S O \Rightarrow A H ⊥ (S B M) \Rightarrow A H = d (A; (S B M))

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{A O^{2}} = \frac{1}{A C^{2}} + \frac{1}{\frac{A C^{2}}{4}} = \frac{5}{A C^{2}} = \frac{5}{2 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{10}}{5}

.

Đáp án D.