Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các...

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng $\left(ABC\right)$
Khi đó từ giả thiết ta có $\mathrm{\angle }SAH=\mathrm{\angle }SBH=\mathrm{\angle }SCH=30{}^{\circ }$
Suy ra $\mathrm{\Delta }SAH=\mathrm{\Delta }SBH=\mathrm{\Delta }SCH$ (gn-cgv)
Suy ra $HA=HB=HC$ hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }ABC$.
Tam giác ABC có
$AC=7;AB=5;BC=8\Rightarrow p={\displaystyle \frac{AB+AC+BC}{2}}=10$.
Theo công thức Hê-rông thì diện tích tam giác ABC là
$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=10\sqrt{3}$
Lại có $S_{ABC}={\displaystyle \frac{AB.AC.BC}{4\text{R}}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{5.7.8}{4\text{S}}}={\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{3}}$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }ABC$ ).
Hay $HA={\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{3}}$.
Xét tam giác SHA vuông tại H có $SH=\tan SAH.AH=\tan 30{}^{\circ }.{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$.
Thể tích khối chóp S.ABC là $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{7}{3}}.10\sqrt{3}={\displaystyle \frac{70\sqrt{3}}{9}}$.
Lại có $\mathrm{\Delta }SHB$ vuông tại H nên $SB={\displaystyle \frac{SH}{\sin 30}}={\displaystyle \frac{14}{3}}=SC$
Xét tam giác SBC có $p_1={\displaystyle \frac{SB+SC+BC}{2}}={\displaystyle \frac{19}{3}}$ suy ra
$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\sqrt{p_1(p_1-SB)(p_1-SC)(p_1-BC)}={\displaystyle \frac{8\sqrt{13}}{3}}$
Từ đó $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}d(A,(SBC)).S_{\mathrm{\Delta }SBC}\iff d(A,(SBC))={\displaystyle \frac{3V_{S.ABC}}{S_{\mathrm{\Delta }SBC}}}={\displaystyle \frac{3.{\displaystyle \frac{70\sqrt{3}}{9}}}{{\displaystyle \frac{8\sqrt{13}}{3}}}}={\displaystyle \frac{35\sqrt{39}}{52}}$.