Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng $30{}^\circ $. Biết $AB=5,AC=8,\text{ BC}=7$, khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $d=\dfrac{35\sqrt{139}}{13}$
B. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$
C. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{52}$
D. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{26}$
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$
Khi đó từ giả thiết ta có $\angle SAH=\angle SBH=\angle SCH=30{}^\circ $
Suy ra $\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH$ (gn-cgv)
Suy ra $HA=HB=HC$ hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Tam giác ABC có
$AC=7;AB=5;BC=8\Rightarrow p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=10$.
Theo công thức Hê-rông thì diện tích tam giác ABC là
${{S}_{ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=10\sqrt{3}$
Lại có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{AB.AC.BC}{4\text{R}}\Rightarrow R=\dfrac{5.7.8}{4\text{S}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ ).
Hay $HA=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác SHA vuông tại H có $SH=\tan SAH.AH=\tan 30{}^\circ .\dfrac{7\sqrt{3}}{3}=\dfrac{7}{3}$.
Thể tích khối chóp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7}{3}.10\sqrt{3}=\dfrac{70\sqrt{3}}{9}$.
Lại có $\Delta SHB$ vuông tại H nên $SB=\dfrac{SH}{\sin 30}=\dfrac{14}{3}=SC$
Xét tam giác SBC có ${{p}_{1}}=\dfrac{SB+SC+BC}{2}=\dfrac{19}{3}$ suy ra
${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{{{p}_{1}}\left( {{p}_{1}}-SB \right)\left( {{p}_{1}}-SC \right)\left( {{p}_{1}}-BC \right)}=\dfrac{8\sqrt{13}}{3}$
Từ đó ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A,(SBC) \right).{{S}_{\Delta SBC}}\Leftrightarrow d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3.\dfrac{70\sqrt{3}}{9}}{\dfrac{8\sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
A. $d=\dfrac{35\sqrt{139}}{13}$
B. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$
C. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{52}$
D. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{26}$
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$
Khi đó từ giả thiết ta có $\angle SAH=\angle SBH=\angle SCH=30{}^\circ $
Suy ra $\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH$ (gn-cgv)
Suy ra $HA=HB=HC$ hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Tam giác ABC có
$AC=7;AB=5;BC=8\Rightarrow p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=10$.
Theo công thức Hê-rông thì diện tích tam giác ABC là
${{S}_{ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=10\sqrt{3}$
Lại có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{AB.AC.BC}{4\text{R}}\Rightarrow R=\dfrac{5.7.8}{4\text{S}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ ).
Hay $HA=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác SHA vuông tại H có $SH=\tan SAH.AH=\tan 30{}^\circ .\dfrac{7\sqrt{3}}{3}=\dfrac{7}{3}$.
Thể tích khối chóp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7}{3}.10\sqrt{3}=\dfrac{70\sqrt{3}}{9}$.
Lại có $\Delta SHB$ vuông tại H nên $SB=\dfrac{SH}{\sin 30}=\dfrac{14}{3}=SC$
Xét tam giác SBC có ${{p}_{1}}=\dfrac{SB+SC+BC}{2}=\dfrac{19}{3}$ suy ra
${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{{{p}_{1}}\left( {{p}_{1}}-SB \right)\left( {{p}_{1}}-SC \right)\left( {{p}_{1}}-BC \right)}=\dfrac{8\sqrt{13}}{3}$
Từ đó ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A,(SBC) \right).{{S}_{\Delta SBC}}\Leftrightarrow d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3.\dfrac{70\sqrt{3}}{9}}{\dfrac{8\sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
| Sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ABC có ba cạnh a, b, c là ${{S}_{ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$ với $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ Sử dụng công thức diện tích ${{S}_{ABC}}=\dfrac{abc}{4\text{R}}$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ Sử dụng công thức thể tích khối chóp có chiều cao Δ và diện tích đáy Δ là $V=\dfrac{1}{3}h.S\Leftrightarrow h=\dfrac{3V}{S}$. |
Đáp án B.